Родился в Иржавце (ныне — Черниговская область, Украина). Является дядей украинских музыковеда и фольклориста Дмитрия Николаевича и композитора Льва Николаевича Ревуцких.
Учился в Первой киевской гимназии и Московском университете, где окончил курс по историко-филологическому факультету. Был преподавателем в Александровском военном училище и 1-й московской гимназии, где в 1864 году прочёл пять публичных лекций о Шекспире. Этот писатель и его эпоха сделались предметом специального глубокого изучения для молодого ученого. Два года (1867—1869) Стороженко провел за границей, преимущественно в Англии. Плодом его занятий были — статья «Шекспировская критика в Германии» («Вестник Европы», 1869, октябрь и ноябрь) и диссертация на степень магистра «Предшественники Шекспира» (Санкт-Петербург, 1872). Статья, написанная увлекательно и с горячей любовью к предмету, свидетельствовала о богатой эрудиции и литературном таланте. Обозревая судьбу шекспировских произведений в немецкой критике, Стороженко давал попутно прекрасные характеристики шекспировских типов и вообще шекспировского гения и написал ряд блестящих страниц из истории германской мысли в XIX в. В диссертации Стороженко впервые на русском языке была обрисована не только с ученым, но и с художественным талантом личность Марло. Автор не затруднялся делать экскурсии в области публицистики, если она помогала ему уяснить для читателей психологию писателя и человека; Белинский призывается в свидетели при суждении о Марло, натуре страстной, гениальной и многогрешной. «Напряженное участие», «лихорадочный интерес», какие чувствовал автор к своему предмету, до конца остаются характерными чертами всех произведений Стороженко и управляют его выбором. Стороженко писал и пишет только о том, во что можно вложить не только труд, но и настроение, о чём можно говорить с воодушевлением, с горячим сочувствием.
В год выхода первой диссертации Стороженко был выбран советом Московского университета на кафедру истории всеобщей литературы. И здесь, как в его занятиях английской драмой, ему суждено было явиться инициатором и стать хронологически и научно во главе преподавания истории всеобщей литературы в Московском университете. До него предмет этот читался профессорами истории русской литературы обходным путем; например Тихонравов под именем истории новой русской литературы читал курс истории французской литературы XVII и XVIII вв., причём собственно на долю истории русской литературы приходились в конце курса лекции 3 — 4. Устав 1863 года узаконил кафедру всеобщей литературы, и Стороженко первый занял её как специалист. В свои лекции он внес тот же литературный талант, ту же тонкость художественного чувства и то же гуманное направление, каким отличались его первые учено-литературные труды.
В 1878 году Стороженко защитил диссертацию на степень доктора: «Роберт Грин. Его жизнь и произведения». Книга разрабатывала вопрос новый даже для английской ученой литературы, делала в науку ценный вклад из вновь открытых документов и была по достоинству оценена в Англии: её перевели на английский язык, и Стороженко был избран одним из вице-президентов Нового шекспировского общества (New Shakespeare-Society).
С тех пор деятельность Стороженко шла двумя путями: чтение многочисленных лекций в университете, на женских курсах, в театральном училище, членство, потом председательство (с 1894) в литературно-театральном комитете при дирекции Императорских театров, — и одновременно множество оригинальных статей и редактирование переводных сочинений по Шекспиру (Женэ, Коха, Левеса, Брандеса). Под редакцией Стороженко вышли также «Испанская историческая литература» Тикнора и «Виктор Гюго и его время». Стороженко неоднократно с большим успехом выступал как публичный лектор. Один из популярнейших людей в Москве, он является неизменным помощником и руководителем молодых ученых и начинающих писателей и всегда готов тратить свое время на всевозможные указания и хлопоты ради всякого, кто только нуждается в них. Назначенный библиотекарем в Румянцевский музей Стороженко в короткое время успел довести до образцовой полноты, какую только позволяли средства библиотеки, её научные отделы и по собственной инициативе устроил особую общедоступную научно-популярную библиотеку читального зала, непрестанно обновляющуюся и имеющую свой особый капитал. С 1894 по 1901 годы Стороженко состоял председателем Общества любителей российской словесности и деятельно устраивал его публичные заседания, нередко принимая личное участие в них.
Один из инициаторов создания и сотрудник журнала «Артист» . Автор пьесы «Троеженец» (1896, Малый театр).
Журнальные статьи Стороженко посвящены разнообразным вопросам по всем главным литературам Европы. Сами темы, выбираемые Стороженко, наглядно характеризуют направление его научно-литературной работы:
В области шекспировской драмы каждая статья Стороженко обличает разностороннего, в то время единственного в России знатока предмета. Стороженко принадлежит очерк по истории английской драмы до смерти Шекспира во «Всеобщей истории литературы» (ред. Корша и Кирпичникова). Менее обширные статьи:
Стороженко написал ещё:
В «Киевской Старине» Стороженко время от времени печатал ценные материалы из биографии Шевченко, извлекаемые им из петербургских архивов.