Родился в Нижнем Новгороде. В 1943 году был призван в Красную Армию. Закончил Бакинское Военно-морское подготовительное училище. В 1948 году закончил штурманский факультет Ленинградского Высшего Военно-морского училища имени Фрунзе.
Ещё в ходе учёбы познакомился с будущей женой Антониной. Вскоре после окончания училища у них родилась дочь Ирина.
Службу нёс на Черноморском флоте, где на подводной лодке служил сначала командиром рулевой группы, затем командиром БЧ-1, помощником, а затем и старшим помощником.
После окончания Ленинградских Высших офицерских классов командиров подводных лодок в 1954 году получил под своё командование подводную лодку. За отлично проведённые стрельбы приказом Министра Обороны СССР Георгия Жукова получил досрочное звание.
В 1958 году переведён на Северный флот, где получил под командование атомную подводную лодку К-19.
4 июля 1961 года при выполнении задачи боевой подготовки на К-19 произошла авария. Произошёл разрыв первого контура охлаждения ядерного реактора лодки, что привело к постоянному повышению температуры реактора, что в итоге неминуемо должно было привести к неуправляемой цепной реакции и ядерному взрыву большой мощности. Взрыв произошёл бы рядом с островом Ян-Майен, на котором располагалась военная база НАТО. Ядерный взрыв рядом с базой НАТО в условиях охлаждения отношений между США и СССР мог быть расценен не как авария, а как провокация или даже удар по территории США и с большой степенью вероятности мог привести к началу Третьей мировой войны.
Николаем Затеевым и экипажем было принято решение попробовать самостоятельно устранить аварию. Для этого был разработан план создания не предусмотренного конструкцией реактора дополнительного трубопровода, позволившего бы подвести к раскалённой зоне охлаждающей воды из дополнительных баков. Такая работа потребовала проведения сварочных работ в активной части реакторного отсека. Уровень радиации на лодке постоянно рос, связь со штабом отсутствовала, лодка могла передвигаться только с помощью второго реактора. В подобных условиях, не имея никаких средств защиты от радиации, экипаж Затеева успешно справился с задачей, было подведено дополнительное охлаждение и постепенно температура реактора нормализовалась и он был приведён в безопасное положение.
Экипаж был эвакуирован на подоспевшую дизельную подводную лодку, а К-19 была отбуксирована в порт. От лучевой болезни в течение только двух недель после аварии скончалось 8 человек.
После тщательного расследования обстоятельств аварии действия экипажа были признаны единственно верными, а Николай Затеев был награждён орденом Красного Знамени. Однако всё произошедшее было засекречено и даже лечившиеся от лучевой болезни подводники получили «секретный» диагноз «астеновегетативный синдром».
Несмотря на то, что действия капитана К-19 были признаны верными, Николай Затеев больше никогда не командовал подводной лодкой. После прохождения курса лечения лучевой болезни он был назначен заместителем командира дивизии подводных лодок.
В 1962—1965 годах Затеев проходил обучение в Ленинградской Военно-морской академии, по окончании которой был назначен заместителем начальника отдела в одной из частей ВМФ в Ленинграде. В 1966 году был назначен старшим офицером службы боевой подготовки ВМФ в Москве.
В 1972 году переведён на должность уполномоченного представителя государственной комиссии приёма кораблей Военно-Морского флота.
В 1986 году уволен в запас.
С 1990 года принимал активное участие в создании и деятельности Комитета ветеранов подразделений особого риска РФ. Именно Николай Затеев впервые публично рассказал об произошедшей аварии и передал в комитет имена подводников, ликвидировавших аварию для оформления наград и документов. Он восстановил потерянные связи с участниками тех событий.
Скончался в 1998 году после тяжёлой болезни (рак лёгких). Похоронен на Кузьминском кладбище Москвы рядом с могилами пятерых членов экипажа К-19, похороненных там же в июле 1961 года.
25 июля 2004 года в Нижнем Новгороде по адресу, где некогда жил Николай Затеев, была установлена мемориальная доска.
В фильме «К-19: Оставляющая вдов (фильм)», который снят по событиям 4 июля 1961 года, роль капитана Затеева (под именем Алексей Востриков) исполнил Харрисон Форд. По воспоминаниям дочери, однажды Николай Затеев, увидев Харрисона Форда в одном из фильмов, сказал: «Запомни, Ирина, когда будут снимать фильм про нашу лодку, этот актёр будет играть меня».
В 2006 году Михаил Горбачёв выдвинул оставшихся в живых членов первого экипажа К-19 на получение Нобелевской премии мира — за то, что военные моряки ценой собственной жизни предотвратили новую мировую войну и экологическую катастрофу. На 1 февраля 2006 года в живых оставалось 56 человек из 139 бывших на борту.