Родился в 1847 году в селе Михайловка Саранского уезда Пензенской губернии (ныне Лямбирский район Республики Мордовия) в семье дворян.
Отец — Фёдор Михайлович Филатов и мать — Анна Авраамовна, урождённая Шахова — вырастили семерых сыновей: Михаила (инженер); Абрама (акушер—гинеколог), Нила (педиатр), Пётра (хирург и окулист — отец В. П. Филатова), Фёдора (земский врач), Бориса (юрист) и Николая (врач).
В 1859 году Нил Филатов поступил во второй класс Пензенского дворянского института, где одновременно обучались ещё три его брата. Специальное медицинское образование Филатов получал с 1864 года на медицинском факультете Московскогоуниверситета. В 1866 году в Москве одновременно учились шесть родных братьев Филатовых и два двоюродных брата; жили они на паевых началах в квартире в районе Волхонки в Антипьевском переулке; по хозяйству им помогала их тётка, сестра отца — Наталья Михайловна Филатова.
После окончания в 1869 году университета Н. Ф. Филатов работал вначале земским врачом в родном Саранском уезде, а затем, в 1872—1874 годах специально изучал детские болезни в клиниках и больницах Вены, Праги, Гейдельберга. Степень доктора медицины получил в 1876 году за диссертацию «Об отношении бронхита к острой катаральной пневмонии», а через год звание приват-доцента детских болезней.
После возвращения в Москву в 1875 году и до конца жизни его научная, врачебная, педагогическая деятельность была связана в основном с двумя учреждениями: детской больницей, на Бронной улице и медицинским факультетом университета.
Нил Фёдорович был страстным шахматистом. Он стал ежедневно приходить домой из больницы довольно поздно. Жена учинила ему допрос. И он покаялся. «Я уходил уже, осмотрев больного, и вижу: сидит гимназист и сам с собою партию в шахматы играет. А ну-ка, говорю, поставь фигуры — я с тобой сыграю. Думаю: обыграю его в несколько минут да и пойду. А он мне мат закатил. На другой день — опять мат. Я на третий день уже не мимоходом играю, а нарочно приехал раньше, играю изо всей силы, а он мне опять шах и мат. И на четвертый день — все шах и мат». Гимназист этот был будущий чемпион мира Алехин.