Норм был младшим из трех сыновей своих родителей, Мэри и Элмера; когда ему было всего 2 года, те развелись. Растить детей Мэри помогали ее мать и тетя. Все дети – Норман, Кен и Рон – исправно посещали методисткую церковь.
В школе Никсон серьёзно занимался спортом: играл в американский футбол, ему даже предлагали играть в комадах НФЛ «Питсбург Стилерз» и «Даллас Ковбойз», был капитаном школьной баскетбольной команды на первенстве штата в 1973 году, занимался бегом и стал чемпионом штата по прыжкам в высоту.
После школы он поступил в питтсбургский Университет Дюкесн и был в эти годы одним из основных игроков команды «Дюкесн Дьюкс». В 2001 году он был включен в число пяти лучших игроков, когда-либо выступавших за сборную этого университета.
За 104 игры в составе «Дюкесн Дьюкс» Никсон заработал для команды 1805 очков.
На драфте НБА 1977 года Никсон был выбран в первом раунде под 22-м номером командой «Лос-Анджелес Лейкерс». Он провел за нее 6 сезонов, в двух из которых (1980 и 1982 года) команда стала чемпионом НБА. В 1983 году, в одной из финальных игр, в результате столкновения с одним из соперников, Никсон получил вывих плеча, но, тем не менее, продолжил игру.
К началу сезона 1983/1984 «Лейкерс» обменяли Никсона в «Сан-Диего Клипперс» на Байрона Скотта. Первые два сезона в новой команде оказались для Никсона необыкновенно результативными (первое место по числу голевых передач), но два следующих он почти полностью пропустил из-за травм. С «Клипперс» Норм так ни разу и не завоевал титула, но зато успел поставить рекорд, не побитый до сих пор: сделал 13 голевых передач за 18 минут.
После ухода из НБА в марте 1989 года Никсон один сезон поиграл за итальянскую команду Серии А «Скаволини», а после завершения баскетбольной карьеры стал агентом.
Вместе с женой Норм основал школу танца Debbie Allen Dance Academy в Калвер Сити, Калифорния. Также работал спортивным комментатором и обозревателем для нескольких компаний.
С 1984 года Норм Никсон женат на актрисе, продюсере и танцовщице Дебби Аллен, у них трое детей, два сына и дочь: актер, танцовщица Вивиан Николь Никсон и Норманн Никсон-младший, баскетболист, выступает за баскетбольную сборную своего университета.
В 1979 году Норм вместе с женой появился в фильме «Рыба, которая спасла Питсбург» (англ. The Fish That Saved Pittsburgh, в фильме также снялись баскетболисты Джулиус Ирвинг и Карим Абдул-Джаббар)