Генри Норман родился 2 декабря 1826 года; он был единственным сыном торговца Джеймса Нормана и его жены Шарлотты. В 1840 году отец Нормана, долгие годы ведший торговые операции на Кубе, стал партенром в торговой фирме в Калькутте (Индия), в 1842 в Калькутту переехала его жена с сыном; в возрасте 17 лет Генри поступил на службу в Индийскую армию.