Оге Бор родился в Копенгагене в семье Маргарет и Нильса Бора, был их четвёртым ребенком. Взрослея среди таких физиков, как Вольфганг Паули и Вернер Гейзенберг, он также стал увлекаться физикой. В 1940, через несколько месяцев после оккупации Дании, Оге Бор поступил в Копенгагенский университет и вскоре стал ассистировать отцу при написании статей и писем. В октябре 1943 силами Сопротивления был переправлен вместе с отцом на лодке в Швецию, а оттуда на бомбардировщике в Англию. Как ассистент Нильса Бора, участвовал в работе над атомным проектом, в 1944—1945 являлся сотрудником Лос-Аламосской национальной лаборатории.
В августе 1945 Оге Бор вернулся в Данию и продолжил обучение, через год получив степень магистра. В 1946 он стал сотрудником Института теоретической физики (Институт Нильса Бора), проходил стажировку в Принстонском и Колумбийском университетах (с января 1949 по август 1950, под руководством Исидора Раби). Там он познакомился с Джеймсом Рейнуотером и Беном Моттельсоном, с которым продолжил сотрудничество по возвращении в Копенгаген. Их совместная работа позволила развить в начале 1950-х годов так называемую коллективную (обобщенную) модель ядра. В 1958 вместе Д. Пайнсом они предложили так называемую сверхтекучую модель ядра, рассмотрев возможность существования сверхтекучести адронов в ядрах. В дальнейшем Бор и Моттельсон работали над обобщением знаний о структуре ядра в виде монографии, первый том которой «Одночастичное движение» вышел в 1969, второй том — «Деформации ядра» — в 1975. Работа Оге Бора в области теории ядра послужила поводом для вручения Нобелевской премии по физике за 1975 «за открытие взаимосвязи между коллективным движением и движением отдельной частицы в атомном ядре и развитие теории строения атомного ядра, базирующейся на этой взаимосвязи» (совместно с Моттельсоном и Рейнуотером).
Одновременно с работой в Институте Оге Бор преподавал в Копенгагенском университете, с 1956 — в звании профессора. После смерти Нильса Бора в 1962 возглавил Институт и был его директором до 1970. С 1957 Оге Бор входил в руководство Института теоретической атомной физики (Nordisk Institut for Teoretisk Atomfysik, НОРДИТА), в 1975—1981 являлся его директором. В последние годы жизни он сконцентрировался на преподавательской деятельности.
В 1950 Оге Бор женился на Мариетте Соффер, от которой имел четырёх детей. После её смерти он женился во второй раз (в 1981) на Бенте Мейер Шарфф.