Родился в Пскове, в семье выходцев из крестьян.
Отец, Александр Николаевич, окончил 2 класса церковно-приходской школы, работал делопроизводителем на псковском заводе, мать, Александра Федоровна — 4 класса, медсестра.
Во время войны в возрасте 18 лет пошёл добровольцем на фронт. Участвовал в боях за освобождение Прибалтики (1944—1945), был награжден медалями «За победу над Германией» и «30 лет Советской Армии и Флота». Переведен в Сахалинский военный округ, продолжил срочную службу в г. Поронайске на только что освобожденном от японцев Сахалине.
Прочитав в 7 классе (в 1941 году) книгу «Введение в ядерную физику», проявил интерес к этой теме. В воинской части на Сахалине Лаврентьев занимался самообразованием, пользуясь технической библиотекой и вузовскими учебниками. Дополнительно подписался на денежное довольствие сержанта на журнал «Успехи физических наук». В 1948 году командование части поручило Лаврентьеву подготовить лекцию по ядерной физике. Имея несколько свободных дней на подготовку, он заново переосмыслил проблему и написал письмо в ЦК ВКП(б). Из Москвы пришло предписание создать Лаврентьеву условия для работы. В выделенной ему охраняемой комнате он написал свои первые статьи, отосланные в июле 1950 года в отдел тяжелого машиностроения ЦК секретной почтой.
Сахалинская работа Лаврентьева состояла из двух частей. В первой части он предлагал устройство водородной бомбы на основе дейтерида лития. Во второй части своей работы он описывал способ получения электроэнергии в управляемой термоядерной реакции. В рецензии А. Д. Сахарова на его работу были следующие слова:
В 1950 году демобилизованный Лаврентьев приехал в Москву и поступил на физический факультет МГУ. Через несколько месяцев он был вызван к секретарю Специального комитета № 1 при Совете Министров СССР (Спецкомитета) В. А. Махневу, а спустя насколько дней — в Кремль к председателю спецкомитета по атомному и водородному оружию Л. П. Берии.
После встречи с Л. П. Берией Лаврентьеву дали комнату в новом доме и повышенную стипендию. Он получил право на свободное посещение занятий и доставку по требованию научной литературы. Прикрепленным преподавателем математики у студента Лаврентьева был кандидат наук А. А. Самарский (впоследствии — академик и Герой Социалистического Труда).
После открытия в мае 1951 года Государственной программы термоядерных исследований, Лаврентьев получил допуск в ЛИПАН (Лабораторию измерительных приборов АН СССР; в настоящее время — Курчатовский институт), где производились исследования в области физики высокотемпературной плазмы под грифом «Сов. секретно». Там уже проверялись разработки Сахарова и Тамма по термоядерному реактору. Лаврентьев вспоминал:
12 августа 1953 года в СССР был испытан термоядерный заряд на основе дейтерида лития. В отличие от участников разработки нового оружия, которые получили государственные награды, звания и премии, Лаврентьев был лишен допуска в лабораторию ЛИПАН, и был вынужден писать дипломный проект без прохождения практики и без научного руководителя. Однако, он получил диплом с отличием на основе уже сделанных им теоретических работ по управляемому термоядерному синтезу.
Весной 1956 года Лаврентьев был направлен в ХФТИ (Харьков, Украина) и представил свой отчет о теории электромагнитных ловушек директору института К. Д. Синельникову. В 1958 году в ХФТИ была сооружена первая электромагнитная ловушка.
Ученый скончался 10 февраля 2011 года на 85-м году жизни. Похоронен на кладбище в пос. Лесное, рядом с женой.
В августе 2001 года в журнале «Успехи физических наук» было опубликовано личное дело Лаврентьева и его предложение, отправленное с Сахалина 29 июля 1950 года, отзыв рецензента Сахарова и поручения Берии, которые хранились в Архиве Президента Российской Федерации в особой папке под грифом секретности, что восстановило научный приоритет.