Родился в семье казачьего офицера П. К. Васильковского и М. П. Вислоух-Крживоблоцкой. В 1901 окончил Николаевское кавалерийское училище. Выпущен в лейб-гвардии Казачий полк. Участник русско-японской войны 1904—1905 в рядах Верхнеудинского полка Забайкальского КВ.
На 1 января 1909 Сотник л-гв. Казачьего полка. Полковник (1913). 19 августа 1914 получает во временное командование 19-й Донской казачий полк. Командир 19-го Донского казачьего полка (20 августа 1915—1917). Командир бригады 7-й Донской казачьей дивизии.
После Февральской революции участвовал в создании союза Георгиевских кавалеров. С 19 июля (1 августа) 1917 — командующий войсками Петроградского военного округа. С 28 августа (10 сентября) 1917 — в распоряжении Военного Министра.
После Октябрьской революции полтора года жил в Советской России. В августе 1919 года бежал в Финляндию. Был у Юденича, но назначения в Северо-Западной армии не получил. В 1920 переехал в Эстонию. Занимался торговлей, открыл мастерскую по ремонту морских судов. Соперничал с генералом А. К. Баиовым, стремясь к руководящей роль среди русских военных эмигрантов в Эстонии.
Постановлением министра внутренних дел от 9.03.1923 Васильковскому было предписано покинуть Эстонию. Высылка была заменена на ссылку в Пярну, откуда он был освобожден 5 января 1924.
01.07.1940 после аннексии Эстонии СССР арестован органами НКВД в Таллине. 09.05.1941 приговорен к ВМН. 12.08.1941 приговор заменен на 10 лет ИТЛ по причине психического расстройства. Погиб в заключении в Томске (по другим данным расстрелян в Ленинграде).