В шахматы научилась играть в детстве — у отца Н. Рубцова, известного московского шахматиста, встречавшегося в турнирах с А. Алехиным. В 17 лет одержала победу среди девушек на массовом молодёжном турнире, организованном газетой «Комсомольская правда» (1926). В 1927 выиграла 1-й чемпионат СССР среди женщин.
На протяжении 40 лет (1927—67) участвовала в 20 чемпионатах СССР: 1931, 1937 и 1949 — 1-е места; 1936, 1948, 1952 и 1954 — 3-и места; 1945 — 3—4-е место. Кроме того, в 1935 победила в матче за звание чемпионки страны О. Семёнову-Тян-Шанскую — 7:2 (+ 6, — 1, =2). В 1965 выступала в чемпионате СССР вместе с дочерью Е. Рубцовой (Фаталибековой). 3-кратная чемпионка Москвы (1947, 1950; 1953/54 — 1—2-е место с Н. Войцик).
Участница чемпионата мира (1949/50) — 2-е место и 3-х турниров претенденток (1952, 1955 и 1959; лучший результат: Москва, 1955, — 1-е место).
В 1956 в матч-турнире опередила Е. Быкову и Л. Руденко и завоевала звание чемпионки мира.
В 1957 Р. возглавляла команду СССР на 1-й женской Олимпиаде и набрала 9,5 очков из 14. В 1958 проиграла в матче-реванше звание чемпионки мира Быковой.
С конца 1960-х гг. успешно выступала в соревнованиях по переписке; в 1968—72 стала 1-й чемпионкой мира (единственная шахматистка, имевшая чемпионские титулы и в очных, и в заочных шахматах). Во 2-м чемпионате (1972—1977) — 1—2-е место (с Л. Яковлевой; уступила звание чемпионки по худшему коэффициенту). В составе команды СССР победила в женском первенстве мира по переписке (1969—79).
За достижения в области Шахмат награждена орденом Трудового Красного Знамени (1957).