В шахматных соревнованиях Бернштейн участвовал на протяжении 60 лет. Лучшие результаты в турнирах до Первой мировой войны: Киев (1903, Всероссийский турнир) — 2-е м.; Кобург (1904) и Бармен (1905) — 4—5-е; Стокгольм (1906) — 1—2-е (с К. Шлехтером); Остенде (1906 и 1907) — 4—6-е и 1—2-е (с А. Рубинштейном); Петербург (1909) — 5-е; Сан-Себастьян (1911) — 8—9-е; Вильно (1912) — 2-е; Петербург (1914) — 6—7-е м.
В 1920 эмигрировал из России. В 1922 вместе с А. А. Алехиным проводил в Париже шахматные «гастроли». Затем два года жил в Берлине, с 1924 – вновь в Париже. Почётный член, по 1951 член Русского шахматного кружка им. П. Потёмкина, с которым был дружен. Занимался юридической практикой, финансовыми операциями, практиковал как адвокат. Автор специальных юридических работ. Соиздатель «Ллойд-журнала». В 1929 разорился. Впоследствии работал в парижском отделении одной из германских фирм. С 1932 французский подданный. Во время оккупации Франции фашистами жил в Виши. После оккупации Парижа бежал в Испанию. По окончании Второй мировой войны вернулся во Францию.
Долгое время не принимал участия в соревнованиях. После нескольких лет шахматной активности (Понт, 1930 — 2-е м.; Берн, 1932 — 5—6-е; Цюрих, 1934 — 6—7-е м.) вновь наступил длительный перерыв в его турнирных выступлениях. Возобновил участие в соревнованиях по окончании Второй мировой войны. Успешно сыграл в Лондоне (1946) — 2-е м.; Монтевидео (1954) — 2—3-е м. (с М. Найдорфом). Матчевая практика Бернштейна невелика; он победил О. Негели 3:1 (1932); сыграл вничью с Г. Вольфом 3,5:3,5 (+1, —1, =5; 1902) и А. Алехиным 2:2 (+1, —1, =2; 1933). Возглавлял команду Франции на Олимпиаде 1954. Играл в матче с командой СССР (1954).
«Самобытный талант… обладает редким даром находить оригинальные идеи» (Эм. Ласкер).