Родился в деревне Криндичёвка, Луганской области (ныне находится в черте города Красный Луч) в семье рабочего. Окончил 10 классов средней школы в городе Грозный. Поступил в Новочеркасский индустриальный институт. Летом 1938 года, после окончания первого курса, по путевке комсомола, выданной Ростовским городским комитетом ВЛКСМ перешёл в Высшее военно-морское училище имени М. В. Фрунзе, которое закончил в декабре 1941 года.
Сразу после окончания военного училища был направлен дублёром командира БЧ-3 на подводную лодку Щ-201 и принял участие в Керченско-Феодосийской десантной операции. Позже, вплоть до завершения боевых действий на Чёрном море служил в подплаве. С февраля 1942 года — на подводных лодках Щ-203 и Щ-202.
В 1946 и 1949 годах окончил курсы усовершенствования офицерского состава подводного плавания ВМФ СССР. До середины 1955 года Л. Г. Осипенко в чине Капитана 2-го ранга командовал дизельной подводной лодкой.
В 1948 году назначен командиром подводной лодки типа «М», затем «С» и, наконец, «Б-12». Служил на Тихоокеанском флоте.
В августе 1955 года назначен командиром первой советской атомной подводной лодки — проекта 627 «Кит» (зав. № 254). 12 марта 1959 года ей был присвоен тактический номер К-3 («Ленинский комсомол»).
23 июля 1959 года за успешное выполнение правительственного задания по приёму в состав ВМФ СССР первой подводной лодки с ядерной энергетической установкой и проявленные при этом мужество и отвагу капитану 1-го ранга Осипенко было присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 11083). При этом Осипенко стал первым подводником, удостоенным этого звания с момента окончания Великой Отечественной войны.
В декабре 1959 года назначен начальником Учебного центра ВМФ по подготовке плавсостава атомного подводного флота в городе Обнинске Калужской области.
В 1980 году, по достижении возраста 60 лет, ушёл в отставку в звании контр-адмирала.
Скончался 14 марта 1997 года. Похоронен на Кончаловском кладбище в Обнинске.