Оскар Акрамович Кайбышев родился в татарской семье в 1939 году в Москве.
В 1962 году Кайбышев окончил Московский институт стали и сплавов. С 1962 года работал на Уфимском моторостроительном заводе. В 1967 году защитил кандидатскую диссертацию. С этого же времени работал в Уфимском авиационном институте. С 1969 года работал заведующим кафедрой в том же институте. В 1974 году защитил докторскую диссертацию. Директор СКТБ «Тантал» при УАИ (1980—1986). C 1987 года был директором Института проблем сверхпластичности металлов АН СССР (РАН). В 1991—1994 году был Президентом АН Башкортостана.
Кайбышев является специалистом в области физики прочности и пластичности, конструкционных материалов, технологии проблем формообразования материалов. В ходе исследований установил универсальность явления сверхпластического течения для любых промышленных сплавов, включая интерметаллиды и керамики, и развил физическую теорию сверхпластичности.
В январе 2005 года Управление ФСБ по Республике Башкортостан предъявило Кайбышеву обвинение в передаче технологий двойного назначения Южной Корее. С этого времени он был отстранён от должности директора НИИ. 9 августа 2006 года Верховный суд Республики Башкортостан признал его виновным и приговорил к 6 годам лишения свободы условно, а также на 3 месяца к лишению права занимать руководящие должности и к штрафу в размере 3 518 000 рублей в пользу Института проблем сверхпластичности металлов.
По словам Кайбышева, во время проведения расследования оперативники ФСБ весной 2003 года изъяли из сейфа института векселя на сумму в несколько десятков тысяч долларов, которые затем обналичили. Состоялся суд, в результате которого майор ФСБ Арефьев был осужден за кражу, получив пять лет условно.