Вступил в части СС в ноябре 1933 года. В 1935—1936 учился в офицерской школе СС. С сентября 1937 года — оберштурмфюрер, командир роты в Лейбштандарте СС.
Участвовал в Польской кампании (получил Железный крест 2-й степени и звание хауптштурмфюрер), во Французской кампании (Железный крест 1-й степени). С марта 1941 года — командир батальона в дивизии СС «Тотенкопф», штурмбаннфюрер.
С 22 июня 1941 года участвовал в германо-советской войне. В декабре 1941 года награждён Золотым немецким крестом. За бои в Демянском котле награждён в мае 1942 года Рыцарским крестом.
С ноября 1942 года — оберштурмбаннфюрер, с марта 1943 года — командир полка в дивизии «Тотенкопф». В боях под Харьковом тяжело ранен (Серебряный знак за ранения). За бои на Курской дуге (в том числе сражение под Прохоровкой) в августе 1943 года награждён Дубовыми листьями (№ 277) к Рыцарскому кресту.
С января 1944 года — штандартенфюрер. С июня 1944 года — командир 17-й танково-гренадерской дивизии СС (в Нормандии), с июля 1944 года — командир 2-й танковой дивизии «Райх». В сентябре 1944 года награждён Мечами (№ 95) к Рыцарскому кресту с Дубовыми листьями, присвоено звание оберфюрер.
С ноября 1944 года — командир 16-й танково-гренадерской дивизии СС (в Северной Италии, с января 1945 года в Венгрии).
8 мая 1945 года оберфюрер Баум и остатки его дивизии сдались в Австрии в британский плен.
Отпущен из плена в декабре 1948 года. Работал в текстильной промышленности.