Профессиональная карьера Босвелта начиналась в клубе «Гоу Эхед Иглс», за который он играл с 1989 по 1994 год, проведя 139 матчей и забив 27 мячей. В 1994 году Пол перешёл в более сильный «Твенте» и сразу стал в клубе игроком основы.
Во всех трёх сезонах за «Твенте» Босвелт показывал уверенную игру, что позволило ему перебраться в стан одного из лидеров нидерландского футбола — «Фейеноорд», в составе которого и прошёл наиболее яркий период его карьеры. В составе роттердамского клуба он стал чемпионом Нидерландов в 1999 году и обладателем Кубка УЕФА 2002.
В 2003 году Босвелт решил сменить чемпионат и перешёл в английский «Манчестер Сити». За 2 сезона, проведённые в составе «горожан», Босвелт вышел на первые роли в клубе, сыграв за клуб 52 матча и забив 2 мяча. В 2005 году ветеран Босвелт вернулся в Нидерланды и провёл 2 сезона за «Херенвен», где в 2007 году и завершил карьеру.
За сборную Нидерландов Босвелт начал играть поздно — свой дебютный матч со сборной Бельгии он провёл в возрасте 30 лет. Несмотря на столь поздний дебют, Паул успел сыграть на двух чемпионатах Европы — в 2000 и 2004 годах. Всего за сборную Нидерландов Босвелт сыграл 24 матча.