Родился в Санкт-Петербурге 18 мая 1829 года. Сын богатого ростовского купца 1 гильдии, Фёдора Максимовича Плешанова (3 ноября 1795 — 28 октября 1867), производившего миллионные обороты в Петербурге.
Плешанов вырос в роскоши и, считая себя вполне обеспеченным на всю жизнь, окончив курс в Петербургском Коммерческом Училище, решил посвятить себя искусству и поступил в 1848 году в Академию Художеств, по классу живописи, одновременно с этим занимаясь частными уроками у профессора Фёдора Антоновича Бруни. Последний очень полюбил юношу за его доброе и нежное сердце и, смотря на его занятия искусством, как на благородную страсть богатого любителя, не лишенного при этом способностей, хотя и не первоклассных, старался всячески поощрять его, относясь к нему снисходительнее, чем к его товарищам, которым, как специалистам-художникам, предстояло проложить себе дорогу упорным трудом.
В 1851 году Академия выразила молодому художнику похвалу за программу: «Юдифь при выходе из городских ворот». В следующем году он получил первую серебряную медаль «за успехи в живописи», за картину: «Пробуждение женщины».
В 1853 году заслужил похвалу «за достоинство композиции и эффект в написанной им картине „Андромаха оплакивает тело Гектора“», хотя в протоколе Академии занесено, что император Николай I, при посещении выставки, остался недоволен этой картиной.
В 1854 году Плешанов написал картину: «Пророк Елисей, воскрешающий сына вдовицы», обладавшую строгим академическим сочинением, где всё расположено по требованию тогдашней композиции и все аксессуары прилично подобраны, но, тем не менее, автору присуждена была вторая золотая медаль. В следующем году, за программу: «Христос в доме Марфы и Марии», вместо первой золотой медали, Плешанов получил только «похвалу» и звание художника XIV класса.
На следующий год, ему было присуждено звание академика за программу «Иерей Сильвестр пред Иоанном Грозным во время большого московского пожара, 24-го июня 1547 года» (ныне в Музее Александра III). После этого, по совету Ф. А. Бруни, Плешанов поехал в Рим, где прожил два года, продолжая пользоваться советами своего профессора. По его же совету, им была написана там картина: «Ослепление Савла на пути в Дамаск», находящаяся теперь в церкви Покрова Пресвятой Богородицы, в Ростове.
В 1863 году Плешанов опять получил от Академии «похвалу» за картину: «Блудница пред Спасителем».
В 1865 году он исполнил лучшую свою работу — портрет отца, Ф. М. Плешанова (ныне в Музее Александра III), а в 1869 году получил звание профессора за картину, написанную на выбранный им самим сюжет: «Убиение Дмитрия царевича в Угличе», приобретенную в Императорский Эрмитаж за 3800 рублей.
В 1867 году умер отец Плешанова. И его коммерческие дела шли не так блестяще, как раньше, но всё же порядочно. Однако, после его смерти в руках старшего брата художника, всё состояние исчезло сразу, и сыновьям бывшего богача пришлось перебраться из роскошно обставленного собственного дома-особняка в казённую квартиру в Академии, где, на их счастье, к тому времени П. Ф. Плешанову удалось получить место преподавателя, для деятельности которого он не был пригоден ни по своему характеру, ни по увлечениям, ни даже по образованию, а был вынужден приняться за неё из-за необходимости добывать средства к жизни.
Такой переворот судьбы, конечно, не мог не отозваться болезненно на его организме. Хотя внешне он переносил свое несчастье мужественно, но в действительности болел сердцем, как из-за тяжелого положения брата, так и оттого, что вместо прежних занятий теми композициями, которые привлекали его, теперь, чтобы содержать себя и брата с семьей, ему приходилось исполнять только срочные заказы, до тех пор, пока тяжелая болезнь, начавшаяся с ожирения сердца, не прекратила его и физические, и моральные мучения.
Впрочем, служебная карьера его шла вполне успешно: в 1875 году он был приглашен присутствовать в заседании Академического Совета, а в 1877 году — назначен сверхштатным членом Совета. В следующем году после смерти Бонафеде, Плешанов получил место заведующего Мозаическим отделением при Императорской Академии Художеств.
Кроме уже упомянутых произведений, П. Ф. Плешанов написал ещё: