Происходил из аристократического рода. Гербом княжеского рода Енгалычевых был герб с изображением в золотом поле на вершине скалы натурального цвета, покрытой травой, черного одноглавого орла, державшего в клюве лавровый венок. Родился 25 марта 1864 года. Отец - Николай Иванович Енгалычев, имел перед реформой 1861 года 45675 десятин земли в Тамбовской и Нижегородской губерниях,был председателем Тамбовской губернской земской управы, а затем в 1875-78 годах Тамбовским губернским предводителем дворянства. Мать - графиня Надежда Павловна Игнатьева, родная сестра графа,генерала от инфантерии Н.П. Игнатьева, дипломата и государственного деятеля, министра внутренних дел Российской империи в 1881-1882 гг.
Образование получил в Пажеском корпусе. Выпущен корнетом (ст. 12.08.1883) в Кавалергардский Ея Величества полк. В 1889 году окончил Николаевскую академию Генерального штаба по первому разряду.
С 1892 года старший адъютант 1-й гвардейской пехотной дивизии. В 1894-1901 годах — военный агент в Германии. Во время китайской кампании 1900-1901 состоял при германском экспедиционном корпусе.
С 8 июня 1902 года — командир лейб-гвардии Гусарского полка. 6 сентября 1905 года назначен и. д. дворцового коменданта. 26 октября 1905 года переведен в распоряжение министра императорского двора генерала Б.Ф. Фредерикса.
22 марта 1914 года Енгалычев был назначен начальником Николаевской военной академии. После начала войны занятия в Академии были прекращены, а Енгалычев получил 9 августа 1914 года назначение начальником штаба 6-й армии, которая должна была обеспечивать оборону Петрограда.
23 декабря 1914 года назначен Варшавским генерал-губернатором для проведения более либерального по отношению к полякам курса.
Уже в 1915 году значительная часть территории генерал-губернаторства попала под контроль противника, а другая передана под контроль командующим частями действующей армии. Тем не менее Енгалычев продолжал числиться генерал-губернатором, хотя в июле 1915 года покинул Варшаву.
В марте 1915 года произведен в генерал-адъютанты.
После Февральской революции немедленно потерял должность и 8.3.1917 зачислен в распоряжение начальника штаба Верховного главнокомандующего. 5 апреля 1917 переведен в резерв чинов при штабе Киевского ВО, а 19 июля 1917 уволен от службы по прошению с мундиром и пенсией. В 1918 жил в Кисловодске, в 1919 - в Екатеринодаре.
После поражения белых армий эмигрировал. Умер в 1944 году в Лозанне.
Российской Империи:
Иностранных государств: