Сын тайного советника, члена Коллегии Иностранных дел Петра Васильевича Бакунина-меньшого, от брака с Анной Сергеевной Татищевой. Получил прекрасное образование. Службу начал в Колегии иностранных дел, в 1789 году был уже титулярным советником.
В 18 лет был назначен вице-директором, в 1794 году — директором Академии наук. После того как его двоюродная тётка Е.Р.Дашкова для поправки своего расстроенного здоровья получила двухлетний отпуск. За время руководства Бакуниным в академии было сделано много. Довольно часто между Бакуниным и академиками возникали конфликты. На одном из заседаний он в довольно резкой форме потребовал, чтобы академики докладывали канцелярии о причинах отсутствия на собраниях и в каждом протоколе отмечали имена отсутствующих с указанием причины, что было расценено академиками как презрение к академическому корпусу.
Бакунин, как истинный руководитель, был очень часто недоволен сроками выполнения академиками каких-то работ: так, он потребовал объяснения причин неустановки большого стенного квадранта, закупленного ещё в 1751 году, чем вызвал новое возмущение академиков, - они объясняли невыполнение работ тем, что обращение с данным инструментом требует особой осторожности, и по этой причине он не может быть быстро смонтирован.
Бакунин, недовольный работой академического музея, приказал Н.Я.Озерецковскому, И.Г.Георги и В.М.Севергину провести ревизию музея и для этого ежедневно бывать там.
Часто возникали трения между директором и конфиренцией по поводу регламента. Академики, привыкшие к самостоятельности и самоуправлению, что, кстати, было декларировано в учредительных документах, подписанных Петром I и Елизаветой Петровной, довольно активно противостояли директору, вынуждая его иногда даже покидать заседания, жаловаться императору. Сенат был вынужден издать указ, предписывающий директору академии и советникам не выходить за рамки своих полномочий и не вмешиваться в дела академической конференции.
Всё это привело к тому, что Бакунин подал прошение об отставке и указом Павла I от 14 апреля 1798 года был освобождён от управления Академией наук.
В 1797 году стал камергером и действительным статским советником. После службы в Академии наук он возвратился в Колегию иностранных дел. В 1802 году был посланником в Англии. Рано умер, не успев издать ни одного труда.
Бакунин был управляющим Российской академии в 1796—1801 годах. Некоторые источники со ссылкой на Половцова ошибочно сообщают, что президентом Российской академии был в этот период отец Павла Петровича Бакунина — Пётр Васильевич Бакунин, член государственной коллегии иностранных дел (П.В. Бакунин к этому времени скончался).
Был женат на Екатерине Александровне Саблуковой (1777 - 1846). У них было два сына и дочь.
жена Екатерина Алексеевна
дочь Екатерина
сын Александр
сын Семён