Выпускник Центра образования «Олимп». Первый тренер — Пётр Васильевич Шевяков. Выпускник географического факультета МГУ 2002 года (кафедра физической географии мира).
Игровую карьеру начал в 1996 году в команде МГФСО, выступавшей во второй лиге чемпионата России. Первый большой успех к Павлу Абрамову пришёл на молодёжном чемпионате мира 1999 года, где он превзошёл всех соперников в атаке и на подаче, стал вторым на приёме и завоевал вместе с золотой медалью приз самому ценному игроку турнира. В том же 1999 году Павел начал выступления за одинцовскую «Искру»-РВСН.
В 2001 году дебютировал в национальной сборной России и в московском «Динамо», а в 2003-м переехал в Японию и провёл два сезона в команде V-лиги «Торэй Эрроуз», после чего вновь вернулся в «Искру».
За сборную России Павел Абрамов непрерывно выступал вплоть до 2007 года, в её составе выиграл бронзовые медали Олимпийских игр в Афинах, был финалистом чемпионата мира 2002 года, четыре раза завоёвывал медали европейских первенств. На турнире Мировой лиги-2002, завершившемся победой сборной России, Абрамов стал лауреатом сразу двух индивидуальных призов — лучшему в атаке и на приёме.
Летом 2009 года, после четырёх сезонов в «Искре», Павел Абрамов подписал контракт с польским клубом «Ястшембский Венгель», став первым в XXI веке игроком уровня сборной, покинувшим российский чемпионат. Сезон, проведённый в Польше, оказался для Павла удачным: он был признан самым ценным игроком Кубка страны, а в чемпионате его клуб уступил только безусловному лидеру польского волейбола последних лет — белхатувской «Скре».
В 2010 году Абрамов входил в состав сборной России на Мировую лигу и во второй раз в карьере вернулся в «Искру».