Педро Дельяча, воспитанник «Кильмеса», дебютировал в главной команде в 1947 году. В 1949 году, заняв первое место во втором аргентинском дивизионе, «Кильмес» вышел в Примеру Аргентинского чемпионата. Дельяча выступал за «Кильмес» до 1951 года, проведя за клуб 141 матч.
В 1952 году Дельяча перешёл в клуб «Расинг» из Авельянеды за 400 тыс. песо, за который он выступал до 1958 года, проведя за клуб 184 матча и выиграв Чемпионат Аргентины в последний год игры в команде.
Завершил карьеру игрока Дельяча в мексиканском клубе «Некакса».
В сборной Аргентине Дельяча дебютировал в 1953 году. Он провёл за главную аргентинскую команду 35 матчей, выиграл два Южноамериканских чемпионата, во втором из которых Дельяча был капитаном команды. В 1958 году Дельяча поехал с национальной сборной на Чемпионат мира 1958.
После окончания карьеры игрока, Дельяча стал успешным тренером. Он выиграл национальные чемпионаты 4-х стран Латинской Америки, два Кубка Либертадорес и Межконтинентальный кубок.