Как и двое других венгров в «Ливерпуле», Андраш Шимон и Кристиан Немет, Гулачи был приобретён у МТК. Летом 2007 года он был взят в аренду с опцией преимущества при покупке, которой «Ливерпуль» воспользовался через год. Зимой 2009 года Гулачи, арендованный «Херефордом», отправился в Первую лигу Англии, где сыграл большинство матчей второго круга.
Гулачи выступал за сборные Венгрии нескольких возрастов. В мае 2008 года был вызван в первую сборную на матч с Хорватией, но остался на скамье запасных. В июле того же года был основным голкипером сборной до 19 лет на чемпионате Европы, где Венгрия дошла до полуфинала, уступив дорогу в финал итальянцам.