В составе «Аякса» Петер дебютировал 3 июня 1962 года в товарищеском матче против венгерского клуба «Татабанья», завершившемся поражением амстердамцев со счётом 2:1.
В чемпионате Нидерландов он дебютировал 30 сентября в домашнем матче против клуба ГВАВ, завершившемся с ничейным счётом 0:0 В той игре Петер появился на замену в середине первого тайма вместо Хенка Грота. Последнюю игру в составе «Аякса», Вогт провёл 21 апреля 1963 года в матче чемпионата против «НАК’а», завершившемся поражением амстердамцев со счётом 1:3.
Летом 1963 года Петер перебрался в клуб ДВС, который также базировался в Амстердаме, однако в команде он стал лишь игроком запаса. Дебют Вогта состоялся 10 ноября в гостевой игре с клубом «Гоу Эхед». За сезон Петер отыграл 6 матчей и забил 1 гол, а его команда сенсационно одержала победу в чемпионате.