Начинал карьеру в клубах «Богемианс» и «Славой-Вышеград», играя в дублирующих составах. В 1988 году дебютировал в основном составе клуба «Богемианс 1905», в начале 1991 года был замечен скаутами из «Спарты» и вскоре перешёл туда. В «Спарте» Коуба провёл 152 игры и забил один гол с пенальти в матче сезона 1994/1995 против Ческе-Будеёвице. В 1993 году его даже признали футболистом года в стране.
После чемпионата Европы в 1996 году он перешёл в «Депортиво Ла-Корунья» за сумму, эквивалентную 1,6 млн. евро, но не закрепился в клубе, проведя только 4 игры. Перед сезоном 1997/1998 года его приобрёл «Кайзерслаутерн» для замены Андреаса Кёпке. Однако на Коубу обрушились несколько несчастий: он получил травму и выбыл на долгое время, а затем его дисквалифицировали на месяц за употребление запрещённых препаратов. В 1998 году он вернулся на родину в «Викторию» из Жижкова, где провёл 23 игры. Через год он снова отправился в Ла-Корунью, но отыграл там всего два матча. В 2001 году он отправился бесплатно в «Баумит» из Яблонца, чьи ворота он защищал в 19 играх. Завершил карьеру в пражской «Спарте» летом 2005 после трёх травм подряд. Ныне работает тренером вратарей в клубе.
В сборной он провёл 46 игр (как за Чехословакию, так и за Чехию). Выступал на чемпионате Европы 1996 года, где стал серебряным призёром. Вклад Коубы в награды был весьма весом: в полуфинальной серии пенальти с Францией Коуба взял удар Рейнальда Педроса. Однако там же Коуба отметился как минимум двумя вратарскими ошибками. Во-первых, в матче группового этапа против России он пропустил курьёзный гол от Владимира Бесчастных: российский форвард пробил метров с 30 (из-за пределов штрафной) и застал Ковбу врасплох. Россия вышла вперёд 3:2, однако через несколько минут Владимир Шмицер сравнял счёт. В интервью журналистов российской газеты «Спорт-Экспресс» на пресс-конференции Коуба сказал, что после этого гола готов был провалиться сквозь землю. Во-вторых, в финальном матче чемпионата Европы 1996 года против Германии Коуба фактически оставил чехов без чемпионского титула: после удара Оливера Бирхоффа Коуба выбил мяч прямо в собственные ворота, который ещё успел попрыгать перед вратарём и только потом закатился в угол ворот сборной Чехии. Эта ошибка стала ударом для вратаря, вследствие чего он не закрепился ни в «Кайзерслаутерне», ни в «Депортиво».
Его отец, Павел Коуба также был вратарём и играл за сборную Чехословакии на чемпионате мира 1962.