С 1982 по 1991 (с перерывами) играл в Высшей лиге чемпионата СССР за ереванский «Арарат».
С 1989 по 1990 год выступал за клуб «Котайк» из Абовяна, в 1992 году играл в составе многократного чемпиона Армении клуба «Киликия» (тогда он именовался АОСС).
В 1992—1994 гг. играл в Ливане, в команде армянской общины — «Оменмен» (Бейрут).
В составе главной национальной сборной Армении сыграл один раз 16 июля 1994 года в товарищеском матче со сборной Мальты в Ереване.
С 2005 по 2006 год занимал должность главного тренера в клубе «Ника» из Москвы, в 2007 году работал тренером в клубе «Луч-Энергия».
В 2008 году перешёл на тренерскую должность в «Кубань», а 10 августа того же года, после увольнения Сергея Павлова, был назначен исполняющим обязанности главного тренера команды, которая провела первый официальный матч под его руководством уже 12 августа против ростовского СКА (3:0). После назначения 1 октября на должность главного тренера «Кубани» Олега Протасова Галстян остался в тренерском штабе в качестве одного из помощников главного тренера. В конце мая 2009 года Галстян покинул «Кубань» по семейным обстоятельствам.
7 июля 2009 года был заявлен в качестве главного тренера московского клуба «Ника», в котором уже работал ранее.
10 августа 2009 года Погос Галстян в качестве старшего тренера вернулся в «Кубань», в которой за день до этого был отправлен в отставку Сергей Овчинников. По завершении сезона оставил пост, а затем покинул «Кубань» и вернулся в «Нику».
12 декабря 2010 года в Москве окончил 240-часовое обучение на тренерских курсах и получил лицензию Pro.
Сын Погоса — Артуш Галстян — тоже футболист, родился 22 января 1990 года, играл на позиции полузащитника в молодёжном составе «Кубани».