Родился 21 января (3 февраля по новому стилю) 1902 года в деревне Полянки Вологодской губернии Вологодского уезда Турундаевской волости в семье служащего (ныне Вологодская область). Русский.
В 1908 году с родителями переехал в город Архангельск. Здесь прошли его детство и юность. Окончил 4 класса церковно-приходской школы, а в 1917 году — Островлянскую второклассную учительскую школу. Получив звание «учителя школы грамоты» поступил на работу конторщиком в Архангельский торговый порт.
В 1920 году добровольцем записался Рабоче-Крестьянский Красный Флот и был зачислен в Школу службы связи Белого моря, которую окончил в 1921 году. С 1921 по июнь 1937 — служил радистом на судах торгового морского флота, провёл несколько зимовок, участвовал бортрадистом в разведочных полетах аэропланов и корректировал движение судов.
В июне 1937 года был назначен старшим радистом ледокольного парохода «Георгий Седов». За время арктического дрейфа судна с октября 1937 года по январь 1940 года во льдах Северного Ледовитого океана радист А. А. Полянский обеспечивал бесперебойную связь с Большой землёй, 4 раза в сутки передавая метеосводки, научные и другие материалы. После этого дрейфа остался работать в Арктике.
В апреле 1941 года Полянский был назначен начальником полярной станции на острове Белый (работал там долгих три с половинной военных года). Только осенью 1944 года прибыла смена. С 1949 года служил начальником полярной станции в Маре-Сале, затем на острове Андрея. С 20 июля 1951 года был начальником инспекторской группы полярной станции Амдерма.
Скоропостижно скончался 5 октября 1951 года, на борту судна «Кировоград», которое должно было доставить его к новому месту службы.
Похоронен на Соломбальском кладбище в Архангельске.