Воспитанник нижегородской детско-юношеской спортивной школы «Локомотив». Первый матч в кубке интертото, Пётр провёл против югославской команды Пролетер(Зренянин). Эта игра в основном происходила в центре поля, без ворот. Но когда Пётр вышел на замену, то тут же быстро себя проявил, он дальним ударом забил победный для Локомотива гол. Тогдашний тренер команды Валерий Овчинников сказал, что эта будущая надежда нижегородского, да и российского футбола. В 17-летнем возрасте в составе нижегородского «Локомотива» дебютировал в чемпионате России 3 мая 1997 года в матче 8-го тура «Локомотив» НН — «Алания» Владикавказ, проигранном его командой 1:3. В первом же сезоне сыграл в чемпионате России в 18 матчах. По итогам чемпионата 1997 года «Локомотив» покинул высшую лигу, и следующий год провёл в первом дивизионе, где занял 2-е место и вновь вернулся уже в высший дивизион России.
С 1999 года Пётр Быстров участвует в 9-м подряд чемпионате России (всего 10). После «Локомотива» выступал за команды «Динамо» Москва, «Сатурн» Раменское. С 2006 года выступал в составе клуба «Москва».
В начале 2009 года оформил контракт с «Рубином». Для футболиста приоритетным стало участие «Рубина» в Лиге чемпионов. Дебютировал в Лиге чемпионов в матче с Динамо (К) 25 ноября.
13 июня 2009 года после матча 12-го тура Премьер-Лиги с «Ростовом» (0:2) Пётр Быстров был доставлен в больницу. Хавбек в компенсированное время упал на газон в центре поля и подняться смог только с посторонней помощью. Врачи дежурной бригады «скорой» в раздевалке оказали Быстрову первую помощь, после чего он был госпитализирован в Межрегиональный клинико-диагностический центр. Первоначальный диагноз, поставленный Быстрову, — отёк головного мозга, тепловой удар и дегидратация, геморрагический инсульт. Впоследствии, диагноз «геморрагический инсульт» не подтвердился. Это стало известно после томографии, которая была сделана футболисту в больнице. Было установлено, что у Быстрова «сильнейший тепловой удар», но кровоизлияния в мозг нет.
Снова вышел на поле 25 октября 2009 года в 26-м туре Премьер-Лиги на замену, снова с «Ростовом», на этот раз в гостях. «Рубин» победил в этом матче со счетом 1:2.
Сыграл два матча в составе сборной России:
До этого выступал за молодёжную сборную России: 6 матчей (в 4-х из них капитан команды), 5 голов.