Пётр Бессонов (Безсонов) родился в Москве, в семье священника. Окончил Московскую духовную семинарию (1846) и поступил на историко-филологический факультет Московского университета. В университете он сблизился с Бартеневым, Собчаковым, Казановичем и Прейсом на почве увлечения русской историей, литературоведением и этнографией, начал собирать народные песни. Окончил он университет в 1851 году. После окончания образования служил в Московском архиве Министерства иностранных дел (1855—1857), Московской синодальной типографии (с 1858). Член Общества любителей российской словесности при Московском университете, его секретарь (1869—1878), член-корреспондент Сербского учёного общества, член Русского географического общества.
Стараниями попечителя Виленского учебного округа И. П. Корнилова был привлечён в Вильну, где был назначен весной 1865 года председателем Виленской археографической комиссии, директором Виленского реального училища и директором Виленской I гимназии. Однако при нём работа Археографической комиссии замерла. Разочарованный И. П. Корнилов добился его удаления в 1866 году. После удаления из Вильны Бессонов служил библиотекарем Московского университета (1867—1878). В 1879 году Бессонов получил звание почётного доктора от Казанского университета, и стал профессором кафедры славянских наречий Харьковского университета.
Итогом деятельности Бессонова в Вильне стал сборник «Белорусские песни», изданный спустя несколько лет в Москве (1871). Автор работ о хорватском мыслителе Юрии Крижаниче и библиографического очерка о графине Прасковье Шереметевой.