Воспитывался в Могилёвской детской коммуне. В 1931 году приехал в Ленинград, поселился на Охте и поступил в Техникум сценических искусств на курс Сергея Герасимова.
Ещё будучи студентом начал сниматься в эпизодах: «Встречный», «Крестьяне». Всенародную славу Алейников обрёл после выхода на экраны фильма «Семеро смелых», где он сыграл роль поварёнка Петьку Молибога. В этом фильме раскрылось его лирико-комедийное дарование и редкое обаяние.
С момента съёмок в фильмах «Трактористы» и «Большая жизнь» Пётр Мартынович знакомится с актёрами Борисом Андреевым и Николаем Крючковым. Дружба этих актёров сохранится на долгие десятилетия, и во многих картинах они будут участвовать вместе.
В 1943 году у Петра Мартыновича родилась дочь Арина, которая впоследствии станет актрисой.
В 1967 году вышел последний фильм с участием Петра Алейникова: «Утоление жажды» где Алейниковым была сыграна роль старого рабочего Марютина.
Скончался Пётр Мартынович 9 июня 1965 года в Москве. Борис Андреев, узнав о намерениях властей похоронить его друга Алейникова на второстепенном кладбище, добился того, чтобы Петру Алейникову было отдано то место на Новодевичьем кладбище, которое было зарезервировано для самого Бориса Фёдоровича.
О творчестве Петра Алейникова снят фильм «Пётр Мартынович и годы большой жизни» (1974). Лауреат Всесоюзного кинофестиваля в номинации «Первый приз за актёрскую работу» (1968, посмертно).
Супруга — Валентина Ивановна Лебедева (1918—1993)
Сын Тарас Алейников (1938 — 2004), кинооператор.
Дочь Арина Алейникова (30 августа 1943), актриса. В настоящее время живёт с семьей в США.