Из дворян, родился в Полтаве.
Во 2-й половине 1860-х годов учился в Лейпцигском университете, затем продолжал образование в Великобритании и Голландии.
1771 по 1777 — на военной службе (при тайной экспедиции?).
1777 по 1783 — служил в библиотеке Санкт-Петербургской Академии наук в качестве переводчика и помощник библиотекаря, участвовал в составлении каталогов библиотеки и принимал участие в систематизации коллекций Кунсткамеры.
1779 по 1781 — в должности редактора журнала «Академические известия», кроме того, надзирал за работами Гравировального и Рисовального департаментов Академии наук (1777—1780). Является автором аннотированных каталогов «всех продающихся при Академии наук книг» (до 1782 года эти аннотированные каталоги публиковались в газете «Санкт-Петербургские ведомости»).
1779 — начал собственную издательскую деятельность.
1786 — в феврале-июне Богданович (совместно с Ф.В. Туманским) издавал журнал «Зеркало света», вышло 6 номеров. В августе-ноябре начал издавать свой журнал «Новый Санкт-Петербургский вестник», но безуспешно, вышло всего 2 номера, в основном, с материалами самого Богдановича.
1787 — открыл в Санкт-Петербурге собственную типографию, издал свыше 150 книг, в том числе:
Ему же принадлежат следующие компиляции и переводы:
В 1795 Богданович разорился. Его коллекция гравюр и картин, а также значительное собрание книг, серьёзно пострадавшие при пожаре в начале 1790-х гг., были проданы за долги. В апреле 1796 Богданович предан суду по ложному обвинению в оскорблении частного пристава и в мае он «яко безпокойный и упорного нрава человек, не повинующийся власти», был выслан из Петербурга в Полтаву к отцу. В 1801 Богданович напомнил о себе прошением и в конце года императором ему было дозволено выезжать из Полтавы без права въезда в столицу. Умер в нужде и безвестности.