В 1918 году окончил историко-филологический факультет Московского университета.
В 1922—1939 годах работал сотрудником советского полпредства в Чехословакии, где также преподавал в Братиславском университете.
В 1940 году по возвращении в СССР стал профессором МГУ, заведовал кафедрой фольклора в Московском институте философии, литературы и истории.
В 1941 году защитил докторскую диссертацию о чешском народном театре.
В 1943 года стал заведующим Сектором фольклора Института этнографии АН СССР.
В конце 1940-х годов подвергся гонениям: был изгнан из МГУ и Академии наук.
В 1952—1959 годах преподавал в Воронежском государственном университете.
С конца 1950-х годов после прекращения опалы работал научных сотрудником Института мировой литературы АН СССР, а в 1964 году вновь стал профессором МГУ.
Научную деятельность Богатырёв начал как исследователь народных обрядов и магических действий. Он совершил несколько научных экспедиций в Закарпатье, результаты которых были обобщены в книге «Магические действия, обряды и верования Закарпатья» (1929). Также занимался изучением народного театра, сравнительным анализом фольклора различных славянских народов.
Перу Богатырёва принадлежит более 300 работ, посвященных народному театру, поэтике и семиотике фольклора. Его работы были опубликованы на русском, чешском, английском, немецком и французском языках. Также он являлся редактором и одним из авторов учебника «Русское народное поэтическое творчество».
Пётр Богатырёв — автор (совместно с Я.Г. Гурьяном) первого и ставшего классическим перевода с чешского романа Ярослава Гашека «Похождения бравого солдата Швейка».