Родился 29 января 1915 года в Туле в семье слесаря-оружейника Тульского оружейного завода четвёртым (самым младшим сыном) ребёнком.
В силу слабости здоровья остался на второй год в 7 классе средней школы. После окончания седьмого класса поступил в ФЗУ Тульского оружейного завода. С отличием окончил её, сдав квалификационные экзамены на слесаря-оружейника 6 (высшего) разряда. После окончания школы ФЗУ был принят на Тульский оружейный завод, стал бригадиром комсомольской бригады.
Окончив с отличием четвёртый вечерний курс Рабочего факультета в Туле, Пётр Николаевич поступает на дневное отделение Лечебного факультета Второго московского медицинского института. На старших курсах Пётр Николаевич начинает вести кружки ГТО, где читает лекции по санпросвету. В конце 30-х годов П. Бургасов с отличием выпускается из Института. Долгое время он не может получить распределение. Его старший брат в этом время находился под следствием НКВД по обвинению в подготовке заговора, которое было впоследствии снято с него. Его по направлению ЦК ВКПБ принимают в аспирантуру в ВИЭМ (Всесоюзный институт экспериментальной медицины имени А. М. Горького) по специализации микробиология, чем совсем не планировал заниматься в будущем, так как хотел наряду со своими однокурсниками лечить людей где-нибудь в отдалённых уголках своей необъятной Родины. Тем не менее, после успешной сдачи кандидатского минимума П. Бургасова принимают в ВИЭМ в отдел особо опасных инфекций.
После окончания Финской компании П. Бургасова, Военврача третьего ранга, командование не хотело отпускать обратно в аспирантуру. У П. Бургасова сохранялось сильное желание вернуться обратно на учёбу в аспирантуру. Тогда он воспользовался Постановлением Совнаркома, одобренное Сталиным, согласно которого все добровольцы Финской войны должны были по их просьбе откомандированы обратно к местам их предыдущей учёбы или работы с выплатой денежной компенсации за время их отсутствия на предыдущем месте учёбы или работы. Так П. Бургасова отпустили обратно в аспирантуру.
В 1965 году был назначен главным государственным санитарным врачом СССР и проработал в этой должности 21 год. Скончался Пётр Николаевич в 2006 году.
В июне-сентябре 1970 года участвовал в ликвидации эпидемии холеры Эль-Тор в Батуми и в Астрахани. Вместе с ним работали академик В. И. Покровский и профессор В. Н. Никифоров. Эпидемия в Астрахани была остановлена, из 800 заболевших скончался один человек. Такого достижения на тот момент не было в мировой практике ликвидации эпидемий.
В 1971 году эпидемия холеры Эль-Тор под Новосибирском была предотвращена принятием Бургасовым решения о сбросе в канализацию кислотных материалов промышленных предприятий.
6 апреля 1979 года срочно вылетел в Свердловск для борьбы с эпидемией сибирской язвы. Источник эпидемии находился в 19-м военном городке, где Бургасов ранее работал над разработкой средств защиты от биологического оружия. Вместе с ним для выяснения ситуации и оказания помощи заражённым туда была направлена группа специалистов, в которую вошли главный инфекционист РСФСР В. Н. Никифоров, эпидемиолог И. С. Безденежных и сын П. Н. Бургасова, врач-инфекционист С. П. Бургасов.
В 1980 году, будучи членом международного комитета ВОЗ при ООН по ликвидации оспы в мире, подписал акт о полной ликвидации эпидемии оспы на планете.
До конца 80-х годов — Главный редактор Журнала «Генетика и микробиология».
С 1985 г. по 1990 г. — советник Министра Микробиологической промышленности СССР Быкова В. А.