В 1772 окончил Киево-Могилянскую духовную академию. В 1773 служил копиистом в Синоде. С 1780 по 1805 год работал в Коллегии иностранных дел, был церковником при русской посольской церкви в Париже, секретарём-переводчиком посольств во Франции и Голландии.
Принял и описал 11 тысяч рукописей коллекции Залуских.
Во время французской революции сумел приобрести рукописи, хранившиеся в Бастилии, в расформированных революционерами аббатствах Сен-Жермен и Корби. В феврале 1800 года вернулся в Петербург с коллекцией 400 западноевропейских рукописей и миниатюр, 94 восточных (на 15 языках), около 50 славянских.
Однако когда Дубровский привёз свою коллекцию в Петербург, то ни императорскую семью, ни двор она поначалу не заинтересовала. В связи с этим Дубровский решил пойти на фальсификацию и заявил, что часть древнерусских рукописей из коллекции - это остатки библиотеки дочери Ярослава Мудрого Анны Ярославны, которая впоследствии стала женой французского короля Генриха I и так якобы эти рукописи попали во Францию. Для доказательства этого утверждения Дубровский попросил своего знакомого Александра Сулакадзева сделать на одной из рукописей на кирилице надпись от имени Анны Ярославны. Это и было выполнено, подделку не распознали и в 1805 коллекцию приняли в дар в Императорскую публичную библиотеку и Эрмитаж. Только впоследствии удалось доказать, что запись от имени Анны Ярославны была сделана на сербской рукописи XIV века, тогда как Анна Ярославна жила в XI веке.. Некоторые авторы утверждают, что якобы в коллекции Дубровского были рунические рукописи из библиотеки Анны Ярославовны, которые затем исчезли.
Александр I по представлению А. С. Строганова подписал два респрикта: об учреждении при Императорской библиотеке «особенного депо манускриптов» —начало ему полагало собрание Дубровского, а сам он определялся хранителем своего фонда, — и о денежном вознаграждении собирателю за передачу коллекции. Дубровский также был награжден орденом Анны 2-й степени.
5 апреля 1812 Дубровский был отстранен от должности. Дубровский написал: «Жизнь наша коротка, все условия, все награды с нею кончаются, но полезное для ума человеческого служит до окончания мира».