Из дворян. Отец, Пётр Денисович, был преподавателем гимназии, затем служащим Рижско-Орловской железной дороги.
Учился в гимназиях в Риге, Томске, Санкт-Петербурге. В 1904 поступил на физико-математический факультет Санкт-Петербургского университета, в 1909 перешёл на историко-филологический факультет, но в 1910 отчислен «как не внёсший плату за учение». Затем занимался литературной деятельностью, сотрудничал в различных газетах и журналах. После революции жил в Москве. С 1920 — в эмиграции (Прага, Париж). В марте 1923 вступил в масонскую ложу «Астрея». В 1926 сыграл эпизодическую роль в фильме А. Волкова «Казанова». Умер от гриппа. Похоронен на кладбище Пантен, впоследствии прах был перенесён на кладбище Пер-Лашез.
Был женат (с 1911) на актрисе Евгении Александровне Хованской (1887—1977).
Первые стихотворения Потёмкина (политические юморески) были опубликованы в 1905 в журнале «Сигнал», издававшемся К. И. Чуковским. Печатал в многочисленных журналах, закрывавшихся после выхода нескольких номеров, в основном сатирические стихи и пародии. В декабре 1906 получил приз журнала «Золотое руно» за лучшее стизотворение о дьяволе (Дьявол // Золотое руно. 1907. № 1). В эти годы Потёмкин посещает литературный кружок при университете, литературные вечера у Ф. Сологуба, знакомится с известными писателями и деятелями искусства, близкими к «Миру искусства» (М. Кузминым, В. Нувелем, К. Сомовым, А. Бенуа и др.). Отчёты об обсуждениях его стихов, часто имевших скандальный характер, печатаются в газетах, и имя Потёмкина становится известным.
В 1908 выходит первый сборник стихов «Смешная любовь», вызвавший многочисленные рецензии. В этом же году Потёмкин становится одним из главных авторов и сотрудником редакции нового журнала «Сатирикон». Знакомится с Н. Гумилёвым, А. Толстым, посещает «башню» Вяч. Иванова на Таврической улице.
Потёмкин был автором нескольких эстрадных пьесок, скетчей, ставившихся в театрах-кабаре «Бродячая собака» в Петербурге и «Летучая мышь» в Москве. В 1912 выходит второй сборник стихов «Герань».
Стихи Потемкина нравились Владимиру Маяковскому, Валерию Брюсову, Иннокентию Анненскому. И очень не нравились Александру Блоку.
В эмиграции Потёмкин переводил чешских и немецких поэтов, печатал в русскоязычных журналах и альманахах стихи и рецензии. Были изданы ещё несколько книг.
Одним из увлечений Потёмкина были шахматы. В студенческие годы он принимал участие в домашних турнирах, которые происходили в квартире В. Пяста (Пяст писал в воспоминаниях, что именно у него Потёмкин во время таких турниров знакомился с новыми сборниками стихов поэтов-символистов). Впоследствии стал членом Петербургского шахматного собрания, занимался организацией турниров, сам участвовал в турнирах первой категории. В это же время познакомился с Александром Алехиным, играл с ним в домашних и официальных турнирах. В 1914 выиграл в сеансе одновременной игры у Капабланки, гастролировавшего в Петербурге.
В Праге Потёмкин был членом местного шахматного клуба «Алехин». В июле 1924 только что основанная Международная федерация шахмат (ФИДЕ) устроила «чемпионат мира среди любителей», в котором Потёмкин выступал под флагом старой России. В 1925 в Париже организовал «Русский шахматный кружок», который после смерти Потёмкина получил его имя и просуществовал до 50-х годов.
Потёмкин является автором девиза ФИДЕ «Gens una sumus».