Обстоятельства рождения Кузнецова не вполне ясны, А. А. Реформатский в биографическом очерке называет их даже «весьма загадочными». По воспоминаниям самого Кузнецова, он родился «в руднике на Богодуховской балке Усть-Хопёрского округа области войска Донского». Однако Богодуховская балка — незаселённая местность (зелёная зона) между Макеевкой и Донецком. Ранее там действительно были рудники, но относилась она к Донецкому округу, а не Хопёрскому.
Своих настоящих родителей Кузнецов не знал. Из рассказов приёмной матери он заключил, что был внебрачным ребёнком больничной сиделки от врача, в то время как её муж служил в армии. Этот врач передал Кузнецова в возрасте 9 месяцев на воспитание в бездетную семью своего друга, адвоката Владимира Семёновича Дубенского, жившую в Харькове. Когда Кузнецову было 4 года, Дубенский умер, и мальчика воспитывала приёмная мать, учительница Матильда Исидоровна Дубенская. В 1906 они переехали в Москву, где жили в одной квартире с подругой Матильды Исидоровны, Верой Яковлевной Колмогоровой, и её племянником Андреем. П. С. Кузнецов и А. Н. Колмогоров остались друзьями на всю жизнь.
В 1918 году окончил гимназию Е. А. Репман. Поступил на историческое отделение Московского университета, но через год был призван в Красную армию, откуда вернулся в 1923. Поступил в ВЛХИ, но вскоре ушёл, учился в Институте слова и слушал лекции в 1-м МГУ, но Институт слова закрыли, и в 1928 Кузнецов экстерном сдал экзамены в 1-м МГУ. Под руководством Д. Н. Ушакова написал диплом по исторической фонетике ростово-суздальских диалектов. Поступил в аспирантуру РАНИОН, но в начале 1930 РАНИОН расформировали, и аспирантов выпустили на полгода раньше срока. Один год работал в Смоленске, с 1931 в НИИ языкознания при Наркомпросе (НИЯЗ), но весной 1933 НИЯЗ закрыли, так как он был базой группы «Языкофронт», с левых позиций выступавшей против марризма. Работал лаборантом в ПМГПИИЯ, с 1935 доцентом на кафедре русского языка Мосгорпединститута.
С 1943 преподавал на филологическом факультете МГУ, с 1960 г. — на Отделении структурной и прикладной лингвистики. По совместительству в 1943—1960 работал в Институте русского языка. В 1947 защитил докторскую диссертацию, с 1948 профессор.
Один из создателей Московской фонологической школы и один из инициаторов развития африканистических исследований в СССР; при его поддержке образован сектор африканских языков в Институте языкознания АН СССР. Поддерживал также исследования в области структурной и математической лингвистики; один из участников семинара «Некоторые применения математических методов в языкознании», созданного в МГУ по предложению А. Н. Колмогорова (с которым был знаком с детства).
Основная область научных исследований — историческая морфология русского языка и русская диалектология; автор популярного учебника по истории русского языка (совм. с В. И. Борковским). Но и за пределами этой области его научные интересы были очень разнообразны, простираясь от машинного перевода и теоретической фонологии до финно-угорских и африканских языков. Начиная ещё с 1930-х гг., опубликовал несколько работ по описанию согласовательной системы суахили, введя (впервые в русской грамматической традиции) в научный оборот термин «согласовательный класс»; впоследствии этот термин был перенесён А. А. Зализняком в описание согласовательной системы современного русского языка.
Оставил интересные воспоминания о детстве, юности и драматическом противостоянии «официальной» и «неофициальной» лингвистики в СССР.