Родился в крестьянской семье. Учился в церковно-приходской школе. В 1926—1930 годах учился в Плёсском сельскохозяйственном техникуме.
С 1924 года работал председателем Кандауровского сельского Совета, заместителем председателя Пучежского волисполкома. После окончания техникума работал агрономом в Середском райземотделе. В 1931—1933 годах работал заместителем директора Ивановского областного треста пригородных хозяйств. В 1934—1940 — в Комиссии советского контроля при Совете Народных Комиссаров СССР, в 1940—1943 гг. — главный контролёр Народного комиссариата государственного контроля СССР, в 1943—1944 гг. — заместитель народного комиссара государственного контроля СССР.
В июне 1944 года Пузанов избран председателем Куйбышевского обисполкома. С 1946 года — первый секретарь Куйбышевского обкома и горкома ВКП(б). В этот период область добилась значительных результатов как по экономическим показателям, так и в социально-культурной сфере. Это отметил И. В. Сталин, который в 1952 году выдвинул Пузанова на должность Председателя Совета Министров РСФСР. С 16 октября 1952 года — кандидат в члены Президиума ЦК КПСС. После смерти Сталина и прихода «старой гвардии» потерял свои позиции и 6 марта 1953 года был выведен из Президиума ЦК.
В 1954 году поддержал инициативу Н. С. Хрущева о передаче Крыма Украине.
В январе 1956 года понижен до Первого заместителя Председателя Совета Министров РСФСР.
В 1957 году перешёл на дипломатическую работу: Чрезвычайный и полномочный Посол СССР в КНДР (1957—1962), Югославии (1962—1967), Болгарии (1967—1972), Афганистане (1972—1979).
Сам Александр Пузанов вспоминал об этом так: "Вдруг я получил телеграмму за подписью Громыко: "Учитывая ваши неоднократные просьбы об освобождении от должности посла в Кабуле, вы переводитесь на другую работу". Странно, я никаких просьб не высказывал. Ну, да что там говорить... Все было ясно. 21 ноября вылетел в Союз". Указывают, что на его замене неоднократно настаивал Амин, заявляющий, что «советский посол поддерживает оппозицию и вредит».
С ноября 1979 года работал в центральном аппарате Министерства иностранных дел СССР.
С 1980 года на пенсии. Жил в Доме на набережной.
Скончался 1 марта 1998 года в Москве. Похоронен на Ваганьковском кладбище.