Корач начал выступать за ОКК «Белград» в 16 лет, играя на позиции тяжёлого форварда. В 1960-х он был лучшим баскетболистом Югославии, семь раз становился лучшим по количеству набранных очков в чемпионате страны, четыре раза становился чемпионом Югославии. В 1965 году он набрал 99 очков в матче Евролиги против шведского «Алвика» — это достижение является действующим рекордом по количеству очков, набранных баскетболистом за одну игру в матче Евролиги.
В 1967 году Корач перешёл в бельгийский «Стандард» из Льежа, с которым выиграл чемпионат, через год уехал в Италию, где выступал за «Падову».
В сборной Югославии Корач был ведущим игроком и лучшим по результативности. Он вместе со сборной выиграл 5 серебряных медалей различных международных турниров: по две чемпионатов мира и Европы, а также одну Олимпийских игр. Он четыре раза становился лучшим по результативности на чемпионатах Европы и один раз — на Олимпийских играх 1960 года. Всего за сборную Югославии Корач сыграл 157 игр.
Радивой Корач погиб в автокатастрофе на дороге в окрестностях города Сараево, ему было всего 30 лет. В 1971 году ФИБА учредила новый европейский клубный турнир, который был назван Кубок Корача. Его розыгрыши проходили с 1971 по 2002 годы. В настоящее время Кубком Радивоя Корача называется национальный баскетбольный кубок Сербии. Его именем были названы четыре баскетбольных клуба: два из Сербии, по одному из Боснии и Швейцарии. В 2007 году Корач посмертно был принят в Зал славы ФИБА, а через год Евролига назвала его одним из 50 людей, внесших наибольший вклад в развитие турнира.