Этнический крымчак, Бакши родился 29 октября 1938 года в Хайфе. Менее чем через год его семья бежала в США от надвигающейся Второй мировой войны. Ральф окончил школу искусств и поступил на работу на студию Terrytoons, которую возглавил. Несколько лет Бакши работал в Paramount Pictures, затем создавал мультсериалы по комиксам «Человек-паук» и «Майти-Маус».
Бакши стал одним из пионеров мультипликации «для взрослых», создавая фильмы в жанре фэнтези. Его дебютом на этом поприще был полнометражный мультфильм «Волшебники». Но настоящую славу режиссёру принесли экранизация «Братства Кольца» Дж. Р. Р. Толкина и последовавшая за ней картина «Огонь и Лёд», созданная совместно со знаменитым художником Фрэнком Фразеттой, которая попала в 100 лучших анимационных лент всех времён по версии Rotten Tomatoes. В этом, и некоторых других фильмах Бакши присутствует элемент эротики, который в 1970-80-е считался вызывающим для анимации, традиционно «детского» вида искусства. В 1992 году Бакши снимает комбинированный фильм «Параллельный мир» с Брэдом Питтом и Ким Бессинджер, где погружает реальных персонажей в мир комиксов. В своих мультфильмах он часто использует ротоскопирование, добиваясь большей выразительности и правдоподобия дешёвыми методам.
В настоящее время Ральф живёт в Нью-Йорке.