Рашид Бейбутов родился 1 (14) декабря 1915 года в Тифлисе (ныне Тбилиси, Грузия) Его отец Меджид Бейбутов был известным народным певцом-ханенде из Шуши. Мать Рашида, Фируза Векилова, была преподавателем русского языка, а также руководителем драматического кружка в Тифлисском клубе.
В 1933 году Рашид Бейбутов поступил в железнодорожный техникум, где стал организатором самодеятельного студенческого оркестра. Затем служил в РККА, где был солистом армейского ансамбля.
Затем он недолго поет в одном из тбилисских эстрадных коллективов. В 1933—1944 годах был солистом Государственного джаза Армении под управлением композитора А. Айвазяна и много гастролировал с джазом по стране. Одновременно он начал петь в АрмГАТОБ имени А. А. Спендиарова в Эривани (ныне Ереван). В годы войны много выступает на Крымском фронте. В 1944—1956 годах Бейбутов был солистом Бакинской филармонии, в 1953—1960 годах — солистом АзГАТОБ имени М. Ф. Ахундова. В начале 1950-х годов Бейбутов побывал на гастролях в Болгарии, Венгрии, Италии, Индии, Китае. В 1957 году создал при Азербайджанской филармонии концертный ансамбль, объединяющий стилистику джаза и азербайджанские народные инструменты. Рашид Бейбутов много и успешно гастролировал по различным регионам СССР и зарубежным странам, обязательно включая в свой репертуар песни на языках народов тех стран, где он выступал. Известен случай, когда жители одной из индийских деревень перекрыли движение на железной дороге и не отпускали состав с советскими артистами, пока перед ними не выступил Бейбутов. Выступал также в Сирии, Турции, Египте, Иордании, Иране, Ираке, Финляндии, Польше и в странах Латинской Америки.
В 1930—1940-х годах на волне моды на высокие мягкие мужские голоса Бейбутов обрёл широкую популярность как в республиках Кавказа и Закавказья, так и в России. Голос Бейбутова — очень высокий лирический тенор, приятного нежного и тёплого тембра, широкого диапазона, сочетающий в себе европейскую постановку и певческое дыхание и свободную гортанную манеру пения, характерную для мугама. Бейбутов прекрасно владел русским языком, пел совершенно без кавказского акцента. Манера исполнения — немного наигранная, характерная для культур Кавказа и Турции, сентиментальная, очень радостная и оптимистическая. В популярности с Бейбутовым среди выходцев с Кавказа может сравниться только Муслим Магомаев. В 1955 году в семье Бейбутова родилась дочь, Рашида Бейбутова, которая продолжила дело своего отца. Сейчас Рашида Бейбутова — певица, Заслуженная артистка Азербайджана.
Бейбутов много сделал для становления национальной оперы и музыкальной комедии. Выигрышная сценическая внешность, большой артистический талант и обаяние, способность к пониманию любой национальной музыки принесли Бейбутову огромный успех, сопровождавший его на протяжении всей жизни. Помимо песен народов Кавказа, Бейбутов пел русские народные песни, классические романсы XIX века, выступая очень тонким и чувствительным интерпретатором.
В 1966 году Бейбутов организовал Азербайджанский театр песни (сейчас носящий его имя) и руководил им до конца своих дней. Песенный репертуар певца был очень широк. Основное место в нем занимали произведения азербайджанских композиторов, азербайджанские народные песни. Он снялся в нескольких художественных фильмах.
Умер певец 9 июня 1989 года в Москве из-за неудачной операции. Похоронен на Аллее почётного захоронения в Баку.
В 1943 году Бакинская киностудия решила создать фильм «Аршин Мал-Алан» по одноименной оперетте Узеира Гаджибекова. Один из постановщиков фильма случайно оказался на концерте в доме офицеров в Баку, где Бейбутов исполнял арию Аскера, и пригласил Рашида на главную роль в фильме. Вышедший в 1945 году фильм с огромным успехом прошел на экранах СССР и многих зарубежных стран.