Родился в городе Ташкенте, ныне столице Узбекистана, в семье рабочего (по другим данным — родился в селе Среднее Балтаево Апастовского района Республики Татарстан) в крестьянской семье. Татарин. Начальное образование получил в медресе, одновременно работал в колхозе. Затем переехал в столицу Татарии — город Казань. Учился на рабфаке. Был рабочим на заводе. В 1936 году окончил курсы областной школы профсоюзного движения.
В конце 1930-х годов призван в ряды Красной Армии. Участник Советско-финской войны 1939—1940 годов. После демобилизации работал председателем заводского комитета Казанского авиационного завода (ныне Авиационное производственное объединение имени Горбунова). Поступил на рабфак Казанского государственного университета. В 1941 году стал членом ВКП(б)/КПСС.
Вторично в Красную Армию призван в 1942 году. Окончил курсы политсостава. Участник Великой Отечественной войны с 1942 года. Принимал участие в боях на территории Украины, Румынии, Болгарии, Югославии и Венгрии. Отличился при форсировании реки Дунай.
1 декабря 1944 года, командуя ротой 116-го гвардейского стрелкового полка (40-я гвардейская стрелковая дивизия, 4-я гвардейская армия, 3-й Украинский фронт), гвардии старший лейтенант Рем Абзалов форсировал Дунай в районе села Дунапатай, расположенного в 10-и километрах западнее венгерского города Пакш.
Рота при захвате плацдарма уничтожила около 100 и взяла в плен 145 солдат и офицеров противника.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм, гвардии старшему лейтенанту Абзалову Рему Абзаловичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 4870).
Войну Герой закончил командиром стрелкового батальона.
После войны Р. А. Абзалов продолжал службу в Вооруженных Силах СССР. В 1946 году он окончил курсы «Выстрел». Был командиром полка Туркестанского военного округа. В 1950—1960 годах был военным комиссаром города Ташкента. В звании майора Р. А. Абзалов уволен в отставку.
Жил в столице Узбекистана — городе Ташкенте. Скончался 7 февраля 1983 года. Похоронен на аллее Героев Воинского кладбища в Ташкенте.