С детства и на протяжении всей карьеры Рика Лича тренировал его отец, Дик. За время учёбы в Университете Южной Калифорнии Рик Лич четырежды включался в символическую любительскую сборную США в одиночном и парном разряде, а в 1986 и 1987 году побеждал в парном разряде в студенческом первенстве США. В том же 1987 году он добился и первых успехов в ранге профессионала: в июне, впервом же своём профессиональном турнире в Лондоне, с соотечественником и партнёром по студенческим соревнованиям Тимом Посатом он дошёл до финала, а в июле в Штутгарте, также с Посатом, выиграл свой первый турнир Гран-При. К концу сезона он уже входил в число 30 сильнейших теннисистов мира в парном разряде согласно рейтингу АТР.
Сезон 1988 года Лич провёл в паре с другим американцем Джимом Пухом. Вместе они выигрывают восемь турниров, включая Открытый чемпионат Австралии и турнир Мастерс — итоговый турнир года по версии Ассоциации теннисистов-профессионалов (АТР). Они играют также ещё в трёх финалах, в том числе на Открытом чемпионате США. В сентябре Лич входит в первую десятку рейтинга среди теннисистов, выступающих в парном разряде, а заканчивает сезон на седьмом месте. На следующий год они с Пухом вторично выигрывают Открытый чемпионат Австралии и выходят в финал Уимблдонского турнира. В смешанных парах Лич с американкой Мередит МакГрат выходит в свой первый финал турнира Большого шлема на Открытом чемпионате США. Ещё до финала Уимблдона Лич поднимается на вторую строчку в рейтинге теннисистов в парном разряде, а в начале 1990 года после победы на турнире класса ATP Championship Series в Майами на два месяца возглавляет рейтинг. В середине 1990 года они с Пухом выигрывают Уимблдонский турнир, а со сборной США завоёвывают главный командный трофей, Кубок Дэвиса, выиграв все четыре своих матча на протяжении сезона, а в финальном матче со сборной Австралии поставив победную точку уже после третьей игры (окончательный счёт матча 3–2). Значительных успехов Лич добивается и в смешанных парах: сначала он с Зиной Гаррисон доходит до финала Открытого чемпионата Австралии, где они уступают Пуху и Наталье Зверевой, а потом, тоже с Гаррисон, выигрывает Уимблдонский турнир.
В 1991 году, в свой последний сезон с Пухом, Лич выигрывает с ним два турнира и выходит в финал Открытого чемпионата Франции; тем не менее, этого им не хватает, чтобы снова принять участие в итоговом турнире АТР-тура. В конце года Лич находит нового партнёра, американца Келли Джонса, с которым доходит до финала престижного турнира в Париже. На следующий год они выигрывают два турнира и доходят до финалов чемпионатов Австралии и США, завоевав право на участие в финальном турнире года. В Кубке Дэвиса Лич проводит две встречи в паре с Джоном Макинроем в первом и втором кругах турнира; в полуфинале и финале его меняет в паре с Макинроем Пит Сампрас, а сборная США в итоге вновь завоёвывает Кубок Дэвиса.
Основным партнёром Лича в 1993 году становится олимпийский чемпион Сеула Кен Флэч. Вместе они выигрывают три турнира, в том числе и Открытый чемпионат США (ещё один турнир, в Вашингтоне, Лич выигрывает с Байроном Блэком из Зимбабве), но на чемпионат мира по версии АТР им пробиться не удаётся. В начале того же года Лич на год выбывает из десятки сильнейших в парном разряде, ненадолго возвращается туда в феврале 1994 года, но этот сезон оказывается для него неудачным, и в апреле он выбывает из десятки на три с половиной года, а во второй половине года оказывается даже за пределами первых 50 игроков в рейтинге. Тем не менее, даже в этот неудачный год он выигрывает три турнира с тремя разными партнёрами.
1995 год был ознаменован для Лича рядом успехов: он выиграл с Натальей Зверевой Открытый чемпионат Австралии в миксте, а с соотечественником и бывшим партнёром по студенческому теннису Скоттом Мелвиллом вышел в финал Уимблдона в мужских парах. Успешно проведя концовку сезона, Лич и Мелвилл попали на чемпионат мира АТР, но не сумели выйти в полуфинал из группы. В 1996 году Лич в смешанных парах с Манон Боллеграф из Нидерландов выходит в финал Открытого чемпионата США, а в мужских парах выигрывает четыре турнира, все с разными партнёрами, подобравшись вплотную к десятке сильнейших в парном разряде. Возвращение в десятку произошло в следующем году, который Лич в основном провёл с ещё одним соотечественником, Джонатаном Старком. За год они пять раз играли в финалах турниров, завоевав право на участие в чемпионате мира АТР, а на самом чемпионате победили, обыграв в полуфинале вторую пару мира, Пауля Хархёйса и Якко Элтинга из Нидерландов. В миксте Лич в паре с Боллеграф выиграл два турнира Большого шлема: вначале Открытый чемпионат Австралии, а затем Открытый чемпионат США.
В 1998 году партнёром Лича становится Эллис Феррейра из ЮАР, с которым они выигрывают два турнира и играют ещё в четырёх финалах; в итоге Лич снова участвует в чемпионате мира АТР, но на сей раз не выходит из группы. На следующий год они с Феррейрой снова выходят в финальный турнир года, но опять останавливаются на групповом этапе. На Открытом чемпионате Франции Лич с Ларисой Савченко-Нейланд в последний раз в карьере выходит в финал турнира Большого шлема в смешанных парах. В 2000 году, на третий год партнёрства с Феррейрой, он выходит в финал двух турниров Большого шлема, выигрывает Открытый чемпионат Австралии и уступает Максиму Мирному и Ллейтону Хьюитту в финале Открытого чемпионата США. Помимо этого, они выигрывают ещё два турнира и ещё дважды играют в финалах, а на чемпионате мира АТР доходят до полуфинала, где проигрывают индийцам Бхупати и Паесу. В этом году Лич также в последний раз выступает за сборную США в Кубке Дэвиса.
По окончании сезона 2000 года 35-летний Лич соглашается занять место теннисного тренера при Университете Южной Калифорнии, но затем решает вернуться в большой спорт. В 2001 году он выступает попеременно с Феррейрой и Дэвидом Макферсоном из США. С Макферсоном они выигрывают один турнир и ещё раз играют в финале, с Феррейрой доходят до четвертьфиналов Уимблдона и Открытого чемпионата США, первенствуют на двух турнирах в октябре и завоёвывают путёвку на итоговый турнир года — Кубок Вызова (англ. ATP Doubles Challenge Cup), проводившийся в январе-феврале следующего года в Бангалоре отдельно от соревнований в одиночном разряде из-за опасений террористических атак. На этом турнире после поражения в стартовом матче они выигрывают четыре встречи подряд и становятся чемпионами, в третий раз за карьеру Лича.
После этого Лич выступает ещё четыре года с различными партнёрами. Наиболее успешным в эти годы было для него партнёрство с Брайаном Макфи, с которым они за 2004 и 2005 годы шесть раз побывали в финалах турниров и выиграли два из них. Свой последний матч АТР-тура Лич провёл в 41 год в четвертьфинале турнира в Вашингтоне в июле 2006 года, уступив в паре с парагвайцем Дельгадо россиянам Куницыну и Турсунову.