Родился в 1829 году в городе Санкт-Петербурге. По окончании курса в немецком училище святого Петра (Петришуле) поступил в 1846 году учеником в Императорскую Академию Художеств, в которой ближайшим его наставником был профессор А. П. Брюллов. Окончив курс в 1852 году, Гёдике вскоре отправился в заграничное путешествие; занимался изучением памятников зодчества в Германии, Англии, Франции и Италии и, по возвращении в Петербург, был за чертежи и рисунки удостоен в 1857 году звания академика. В 1864 году, за проект театра на 2000 зрителей (хранящийся ныне в архитектурном музее АХ), получил звание профессора, а в следующем году вступил в число преподавателей академии художеств. Впоследствии Гёдике занимал пост ректора архитектурного отдела АХ — с 1891 по 1894 годы.
Р. А. Гёдике принимал участие в постройке профессором Г. Э. Боссе дворцов в Знаменке, близ Петергофа, (1852—1853), в Михайловке, близ Стрельны (1856—1859), служил архитектором, членом и председателем различных строительных комитетов; так, с 1867 года состоял членом техническо-художественного комитета при инспекции Исаакиевского собора в Санкт-Петербурге, и с 1885 по 1891 год участвовал, в качестве члена, в комиссии по постройке краткосрочной тюрьмы («Кресты») на Выборгской стороне в Санкт-Петербурге.
С 1893 по 1896 год на углу Большого проспекта Васильевского острова и 13-й линии занимался возведением нового корпуса Елизаветинского института с церковью во имя Святого Спиридона Тримифунтского, которая располагалась на верхнем этаже здания.
Практическая архитектурная деятельность Гёдике выразилась во множестве произведенных им построек, из которых важнейшие: