6-кратный чемпион НБА (1957, 1959-63), самый ценный игрок НБА сезона 1956/1957, 12 раз включался в символические сборные сезона (1952-61 — первая команда, 1962, 1963 — вторая команда), 13-кратный участник Матча всех звёзд. Он входит в число 50 величайших игроков в истории НБА, в 1971 году включён в баскетбольный Зал славы.
Коузи, сын французских иммигрантов, рос в бедном районе Йорквилл на Манхэттене. Когда Бобу было 12 лет, его отец, работая водителем такси в две смены, смог накопить денег на переезд в новый дом в Квинзе. В новом районе Коузи увлёкся баскетболом, хотя сначала играл он неважно и два раза исключался из баскетбольной команды старшей школы имени Эндрю Джексона. В 13 лет, упав с дерева, Боб сломал правую руку и стал тренироваться вести мяч и бросать левой, со временем став амбидекстром. Это его новое качество убедило тренера школьной команды Лу Груммонда взять Коузи обратно и доверить ему самую ответственную позицию — разыгрывающего защитника.
Через полтора года Коузи был уже восходящей звездой нью-йоркского баскетбола. Изначально Боб не планировал поступать в колледж, однако возможность получения спортивной стипендии заставила его налечь на учёбу, чтобы повысить успеваемость. В 1946 году Коузи получил предложение спортивной стипендии в Колледже Святого Креста в Ворчестере, штат Массачусетс, в 40 милях от Бостона. В основной состав команды колледжа Бобу удалось пробиться лишь на втором курсе, однако тренер Элвин Джулиан считал Коузи выскочкой и сильно ограничивал отпущенное ему время на игровой площадке. Из-за этого Коузи даже хотел перевестись в Университет Святого Иоанна, но тамошний баскетбольный тренер Джо Лэпчик порекомендовал Бобу остаться в Массачусетсе и завоевать уважение Джулиана, которого он назвал одним из лучших баскетбольных тренеров в стране.