Роберт Фултон родился 14 ноября 1765 года в городке Литтл-Бритн (Little Britain) графства Ланкастер, штат Пенсильвания, США. Его отец был ирландцем, а мать — родом из Шотландии, они занимались фермерством. Когда ребёнку было всего три года, отец умер, и мать с детьми переехали в Ланкастер, продав ферму. В школе юный Роберт не блистал успехами, предпочитая проводить свободное время в местных оружейных мастерских, занимаясь рисованием, черчением и изготовлением фейерверков. В возрасте 12 лет Роберт увлёкся паровыми двигателями, а уже в 14 лет — успешно испытал свою лодку, оснащённую колёсным движителем на ручном приводе.
С 17 лет Фултон жил в Филадельфии, работая поначалу помощником ювелира, а затем — художником и чертёжником. В 1786 году, в возрасте 21 года, то есть по достижении совершеннолетия, Фултон, воспользовавшись советом Бенджамина Франклина, уехал в Англию, где изучал искусство рисовальщика и архитектуру у знаменитого Бенджамина Уэста.
Уже в 1793 году он представил планы постройки парохода правительствам США и Великобритании.
В 1797 году Фултон переехал во Францию. Здесь он экспериментировал с торпедами, а в 1800 представил Наполеону практическую модель подводной лодки, «Наутилус». В этом же году, по просьбе посла США Роберта Ливингстона, Фултон начал эксперименты с паровыми двигателями. В 1803 году паровое судно длиной 20 м и шириной 2.4 м было испытано на реке Сена, достигнув скорости 3 узлов против течения.
Воодушевленный успехом, Фултон заказал более мощный паровой двигатель в фирме Болтона и Уатта. В 1806 году двигатель был доставлен в Нью-Йорк, куда переехал и Фултон, чтобы руководить постройкой судна. В том же году он создаёт проект подводного судна.
В первое плавание пароход Фултона вышел 17 августа 1807 года. Первый пароход часто называют «Клермонт». На самом деле, Фултон назвал его «Пароход Северной Реки» (англ. North River Steamboat), а «Клермонтом» называлась усадьба его партнера Ливингстона, на реке Гудзон в 177 км от Нью-Йорка, которую пароход посетил во время первого плавания. Затем пароход продолжил путь до Олбани.
Фултон запатентовал свой пароход 11 февраля 1809 года и в последующие годы построил ещё несколько паровых судов. В 1814 году Фултон заложил 44-пушечный военный пароход «Фултон I», также известный как «Демологос» (англ. Demologos), но не дожил до окончания постройки.
с 1813 года Фултон стал бы обладателем эксклюзивного права на на постройку пароходов в России: император Александр I предоставил ему монопольное право на эксплуатацию пароходных судов на линии Санкт-Петербург-Кронштадт, а также на других российских реках в течение 15 лет. Но Фултон не смог воспользоваться договором, так как не выполнил основного условия договора - в течение трёх лет он не ввел в строй ни одного судна и этот контракт достался шотландскому промышленнику Чарльзу Берду.
Фултон создал проект чугунного моста и в 1796 году опубликовал его в Лондоне. Этот проект так и не был реализован на родине, но в 1806 году на основе этого проекта шотландский инженер В. Гесте в Санкт-Петербурге построил Зелёный мост через реку Мойку. Этот мост сохранился, пережив несколько расширений без изменения конструкции.
Роберт Фултон скончался в 1815 году и был похоронен в Нью-Йорке. В его честь назван родной городок в штате Пенсильвания и два графства в штатах Нью-Йорк и Огайо.