Роберт Линдстедт начал играть в теннис в четыре года. Его брат Никлас (1973 года рождения) и сестра Анника (1978 года рождения) были первыми ракетками Швеции среди юниоров. Во время учёбы в США в университете Фресно и Университете Пеппердайна он дважды включался в символическую студенческую сборную США, а в 1998 году дошёл до финала студенческого чемпионата США в парном разряде. В том же году он начал профессиональную теннисную карьеру, с августа по декабрь выиграв четыре турнира «фьючерз» в парном разряде.
В феврале 2001 года в Вольфсбурге Линдстедт выиграл свой первый турнир класса ATP Challenger. Его партнёром на этом турнире был другой швед, Фредрик Ловен. В сентябре в Польше Линдстедт впервые выиграл турнир «фьючерз» в одиночном разряде, а за следующий год — ещё три таких турнира. В этом году он почти не играл в парном разряде и потерял завоёванные в прошлом позиции в рейтинге. За следующий год, однако, он побеждает в двух «челленджерах» и шести «фьючерзах», возвращаясь в третью сотню рейтинга, а в 2004 году, выиграв три «челленджера», выйдя во второй круг на Уимблдоне и дойдя до полуфинала на турнире АТР в Меце, впервые входит в сотню лучших игроков в парном разряде. Он также впервые в карьере дошёл до финала «челленджера» в одиночном разряде, победив четырёх соперников, находящихся выше его в рейтинге.
В 2005 году Линдстедт прекратил выступления в одиночном разряде, сосредоточившись на игре в парах. В сентябре в Хошимине он вышел в свой первый финал турнира АТР. В 2006 году он уже дважды побывал в финалах турниров АТР, в том числе на турнире категории ATP Gold в Штутгарте, а в 2007 году завоевал первый в карьере титул на турнире АТР, выиграв с Яркко Ниеминеном турнир в Мумбаи, а через неделю шагнул на следующую ступень, победив на Открытом чемпионате Японии, турнире уровня ATP Gold. В этом же году его впервые пригласили в сборную Швеции на матч Кубка Дэвиса с командой Аргентины.
В 2008 году Линдстедт выиграл командный чемпионат мира в составе сборной Швеции, последовательно переиграв в паре с Робином Сёдерлингом соперников из Аргентины, Чехии, США и России, а потом дошёл с Кевином Андерсоном до четвертьфинала Уимблдонского турнира, где они в первом круге победили одну из сильнейших пар мира, Симона Аспелина и Юлиана Ноула. После этого он победил на турнире класса ATP Gold в Вашингтоне, а затем с Яркко Ниеминеном дошёл до четвертьфинала Открытого чемпионата США, победив в третьем круге фаворитов турнира, чемпионов Уимблдона Даниэля Нестора и Ненада Зимоньича.
В 2009 году основным партнёром Линдстедта стал Мартин Дамм из Чехии. Уже в начале сезона они выиграли два турнира, после чего Линдстедт впервые в карьере вошёл в число двадцати лучших теннисистов мира в парном разряде. Всего же за сезон они выиграли три турнира, в том числе турнир АТР 500 в Вашингтоне, где победили две посеянных пары из числа сильнейших в мире, и ещё дважды играли в финалах (до ещё одного финала Линдстедт дошёл в паре с Сёдерлингом).
2010 год Линдстедт начал с австрийцем Юлианом Ноулом, но затем его постоянным партнёром стал Хорья Текэу из Румынии. С апреля по август Линдстедт и Текэу выиграли четыре турнира, в том числе в Хертогенбосе, где в финале им противостояла третья пара мира, Лукаш Длоуги и Леандер Паес. С Текэу Линдстедт также дошёл до первого в карьере финала турнира Большого шлема. Это произошло на Уимблдоне, где они, будучи посеяны шестнадцатыми, победили четвёртую и одиннадцатую пары, но уступили в финале несеяным соперникам. В 2011 году Линдстедт и Текэу продолжали выступать вместе и на Уимблдоне сумели повторить прошлогодний успех, на этот раз проиграв в финале занимающим первое место в мире среди пар братьям Брайанам. В конце 2011 года, за который они выиграли два турнира и ещё пять раз проиграли в финалах, Линдстедт и Текэу сыграли в финальном турнире АТР-тура, где, однако, уступили в двух встречах из трёх на групповом этапе и в полуфинал не вышли. Тем не менее Линдстедт впервые закончил год в Top-20 рейтинга АТР в парном разряде.