С юных лет начал выступать за молодёжную команду «Пюника». С каждым годом Роберт совершенствовался. Завоевав доверие к себе в игре, Роберт стал незаменимым игроком. В 2005 году последовал перевод в основную команду. Играя с титанами клуба он не затерялся, а наоборот, заиграл в большую силу. Результаты экспертов не заставили себя ждать. Итоги чемпионата 2005 года выявили лучшего игрока впервые принявшем участие в Премьер-лиге, ком и оказался Роберт Арзуманян.
Удачные выступления в последующих сезонах обратили на себя внимание зарубежных селекционеров. 17 января 2008 года Роберт подписал контракт на 1 год с датским клубом «Рандерс». После сезона 2008/09 стал одним из основных игроков команды. 29 августа 2008 года Роберт продлил контракт «Рандерсом» на 4 года. В сезоне 2009/10 стал реже появляться на поле, не входя в тренерские идеи нового главного тренера. А спустя сезон, после удачно проведённых игр в составе сборной на ОЧЕ-2012, по прибытию в клуб, выяснилось, что тренерский штаб перевёл Арзуманяна в дубль. Причиной этого решения скорее всего заключается в том, что Арзуманян и его агент высказались о вероятном переходе в зимнее трансферное окно в какой-либо другой европейский клуб.
В январе 2011 года появилась информация о заинтересованности услугами футболиста вроцлавского «Слёнска», где Арзуманян пройшёл просмотр. Хорошо проявив себя во время учебно-тренировочного сбора команды, Арзуманян однако не стал игроком клуба. Причиной неподписания контракта стали комиссионные, которые потребовал агент Арзуманяна Роберт Килданович. Руководство «Слёнска» в итоге решило не подписывать контракт с игроком.
Впервые в составе сборной Армении Арзуманян вышел в товарищеском матче против Кувейта 18 марта 2005 года. Свой первый гол на международной арене забил в отборочном матче чемпионата Европы 2008 года против Казахстана. Произошло это 2 июня 2007 года. Матч был для нашей сборной юбилейным, 100-ым. На 31-ой минуте Арзуманян распечатал ворота защищаемые Давидом Лория.