Укич родился и вырос в Сплите, с 1992 года занимался в академии местного БК «Сплит», в составе которого дебютировал на профессиональном уровне в сезоне 2000/2001, когда ему было 16 лет. До этого, играя за молодёжный состав «Сплита», дважды выигрывал чемпионат страны, а в 2000 году был признан его самым ценным игроком. После попадания в основной состав клуба Укич привлекался в молодёжную сборную Хорватии, с которой выиграл чемпионат Европы в 2002 году и дошёл до полуфинала чемпионата мира в 2003 году. На клубном уровне он в 2003 году становился чемпионом, а в 2004 году обладателем Кубка Хорватии. В своём последнем сезоне выступлений за «Сплит» Укич набирал в среднем за игру 18,5 очков и делал 4,3 передачи. На драфте НБА 2005 года он был выбран командой «Торонто Рэпторс» под общим 41-м номером.
После выбора на драфте Укич продолжил карьеру в Европе, в составе испанского клуба «ТАУ Керамика», а через год перешёл в «Барселону». В обоих клубах хорват был резервистом, в среднем проводя на площадке 15-16 минут набирая около 6 очков за игру. В Испании Укич дважды выиграл национальный кубок. В 2007 году он перешёл в римский «Виртус», который тренировал его наставник и тренер сборной Хорватии, Ясмин Репеша. В Италии Укич получил больше игрового времени — 26,5 минут за игру и набирал в среднем 11,5 очков.
16 июля 2008 Укич подписал контракт на три года с «Торонто Рэпторс». В первом сезоне он был дублёром испанца Хосе Кальдерона, с которым раньше играл в «ТАУ Керамике». В дебютном сезоне в НБА Укич сыграл 72 игр, в среднем набирая 4,2 очка и делая 2,1 передачи. 22 февраля 2009 года в матче против «Сан-Антонио Спёрс» он установил личный рекорд результативности, набрав 22 очка.
18 августа 2009 года Укича вместе с Карлосом Дельфино обменяли в «Милуоки Бакс» на Амира Джонсона и Сонни Уимса. В «Милуоки» он являлся третьим разыгрывающим и выходил после Брендона Дженнингса и Люка Риднаура. 4 января 2010 года «Бакс» расторгли с Укичем контракт по его просьбе. На следующий день Укич подписал контракт с турецким клубом «Фенербахче».