Руслан Абышов родился 10 октября 1987 года в городе Баку, Азербайджанская ССР. Футболом начал заниматься с 7 лет в ДЮСШ города Баку. Первым тренером был Али муаллим.
Большую часть профессиональной футбольной карьеры провёл в рядах флагмана азербайджанского футбола — клуба «Нефтчи», где выступает по сей день. Имеет также четырёхмесячный легионерский опыт выступления в составе турецкого клуба «Денизлиспор».
Впервые был призван в ряды национальной сборной Азербайджана немецким наставником Берти Фогтсом в августе 2009 года на матчи со сборными Финляндии и Германии. Выступал также в составе молодёжной (U-21) и юношеских сборных Азербайджана U-15, U-17 и U-19.