Сергей Щелкунов родился в городе Самара в 1897 году. Его отец Александр Александрович Щелкунов служил надсмотрщиком Самарской почтово-телеграфной конторы. Мать Евдокия Леонтьевна Щелкунова — домохозяйка. Вскоре после рождения сына семья переехала на отдалённую станцию, а затем в город Оренбург, где Сергей окончил Оренбургское реальное училище. Он продолжил своё образование в Московском Университете, который ему, однако, пришлось покинуть в марте 1917 года в связи с армейским призывом и направлением во 2-ю Одесскую школу подготовки прапорщиков пехоты. Во время последовавших после Октябрьской революции беспорядков и начавшейся Гражданской войны Щелкунов проехал через всю Сибирь и прибыл в Маньчжурию в начале 1918 года. Следующие три года он провёл в Маньчжурии и Восточной Сибири с остатками Белой армии. После победы Красной армии и разгрома армии Колчака он эмигрировал в Японию и оттуда в сентябре 1921 года в Сиэтл, США.
В США Щелкунов продолжил своё образование, получив в 1923 году степень бакалавра и магистра математики в Колледже штата Вашингтон, ныне Вашингтонский университет. В 1928 году он получил степень Доктора философии (Ph.D.) в Колумбийском университете. В том же году он женился на Джин Кеннеди (Jean Gardiner Kennedy) (1901—1979).
После получения степени бакалавра и магистра Щелкунов начал работать в исследовательском подразделении Western Electric, которое впоследствии стало знаменитой Bell Laboratories (с 1925 года). В 1933 году он совместно с Салли П. Мидом начал исследование волноводного распространения электромагнитных волн, которое до этого было открыто аналитически их коллегой Джорджем Саутвортом. В ходе исследования им удалось описать теорию поперечных волн. В 1935 году Щелкунов вместе с коллегами обосновали возможность передачи с помощью нового для того времени коаксиального кабеля телевизионного изображения или до 200 телефонных разговоров.
В течение 35 лет работы в Bell Labs Щелкунов занимался исследованием радаров, распространения электромагнитных волн в атмосфере и в микроволновых направляющих линиях, коротковолнового радио, широкополосных антенн и систем заземления. Он занимал должности заместителя директора математических исследований и заместителя вице-президента по связям с университетами, преподавал в течение пяти лет в Колумбийском университете. Кроме того он работал консультантом по магнетронам на Военно-морской базе в Сан-Диего.