Родился 11 января 1910 года в деревне Прислон Большой ныне Котласского района Архангельской области в крестьянской семье. Русский. Член ВКП(б)/КПСС с 1938 года. Окончил 6 классов.
В Красной Армии с 1928 года. В 1930 году окончил Ленинградскую военно-теоретическую школу лётчиков, в 1931 году — Борисоглебскую военную школу лётчиков и в 1940 году — Курсы усовершенствования командного состава.
Участник войны с июня 1941 года. В августе 1941 года во главе группы бомбардировщиков совершил четыре успешных налёта на столицу гитлеровской Германии — город Берлин. Осенью 1943 года возглавлял группу бомбардировщиков «ДБ-3ф» на Кольском полуострове, осуществлявшую налёты на вражеские объекты в Финляндии, Норвегии, Баренцевом море; летом 1944 года — командир авиагруппы особого назначения на итальянском аэродроме Бари, при оказании помощи Народно-освободительной армии Югославии; на заключительном этапе войны — командир 14-й гвардейской Краснознамённой Берлинской авиационной дивизии (18-я воздушная армия, 1-й Украинский фронт).
В 1949 году гвардии полковник Щелкунов В. И. окончил Военную академию Генерального штаба. С 1955 года — генерал-майор авиации — в запасе. Жил в городе Тамбове, где скончался 28 октября 1974 года, похоронен на Воздвиженском кладбище г. Тамбова.
На родине Героя его именем названа Удимская средняя школа, в Тамбове в память о нём установлена мемориальная доска. В 1975 г. именем Щелкунова названа улица в Великом Устюге (бывш. Заводская).
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 16 сентября 1941 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с германским фашизмом и проявленные при этом отвагу и геройство майору Щелкунову Василию Ивановичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 538).
Также награждён: еще 3 орденами Ленина, 3 орденами Красного Знамени, орденом Суворова 2-й степени, 2 орденами Красной Звезды, медалями, югославским орденом «Партизанская звезда» I степени.