Родился 20 июля 1919 год (по другим данным 1920) на хуторе Солонцовский Области Войска Донского, ныне Верхнедонского района Ростовской области, в семье рабочего. Русский.
Окончил 6 классов. После окончания школы занялся крестьянским трудом: пахал, сеял хлеб и убирал его вместе с хуторянами. В середине 1930-х годов в связи с бурным развитием горной промышленности Алексей приехал в город Шахты Ростовской области. По рекомендации правления колхоза его приняли на шахту «10-лет ЗИ» («За индустриализацию», впоследствии шахта «Нежданная»). Также работал на электрозаводе.
В Красной Армии с 1938 года, закончил курсы младших командиров. Участник советско-финляндской войны 1939-1940 годов. Командир пулемётного расчёта, отдёленный командир, Алексей Щепкин в бою 22 февраля 1940 года в районе населённого пункта Исолями (Аля-Сяйние), скрытно выдвинувшись вперёд, фланговым огнём обеспечил успешное наступление роты. Будучи дважды ранен, мужественный воин продолжал вести огонь по врагу. Пал смертью храбрых в этом бою. Похоронен на месте боя.
Имя Героя носила пионерская дружина Солонцовской школы.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 21 марта 1940 года «за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с финской белогвардейщиной и проявленные при этом отвагу и геройство» отдёленному командиру Щепкину Алексею Ивановичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза. Награждён орденом Ленина.