Русский. Участник Первой мировой войны, прапорщик запасного полка (или подпоручик). В Красной Армии с 1918 года, участвовал в Гражданской войне, в советско-польской войне 1919—1921 и действиях против отряда Антонова.
До Великой Отечественной войны прошёл путь от командира взвода до командира бригады. С 1938 года по октябрь 1939 находился под следствием. Был осуждён на два года заключения, однако вскоре освобождён по амнистии.
С сентября 1943 года командующий 2-й гвардейской танковой армией. C 1942 года член ВКП(б). Тогда же была снята судимость.
Войска под командованием С. И. Богданова участвовали в боях на Западном, 1-м и 2-м Украинских и 1-м Белорусском фронтах, успешно сражались с врагом в битве под Москвой, в Корсунь-Шевченковской, Уманско-Ботошанской, Люблин-Брестской, Висло-Одерской, Восточно-Померанской и Берлинской операциях.
Действия 2-й танковой армии отличались высокой манёвренностью и стремительностью. За умелое руководство войсками танковой армии в боях при прорыве обороны противника на уманском направлении и проявленное при этом мужество и отвагу С. И. Богданову присвоено звание Героя Советского Союза. За образцовые действия войск под его командованием по окружению и разгрому варшавской группировки противника, при форсировании рек Нетце (Нотець) и Одер и при выходе к побережью Балтийского моря награждён второй медалью «Золотая Звезда».
После войны командующий бронетанковыми и механизированными войсками группы Советских оккупационных войск в Германии, с августа 1947 года первый заместитель командующего бронетанковыми и механизированными войсками ВС СССР, с декабря 1948 — командующий бронетанковыми и механизированными войсками ВС СССР. В апреле 1953 года, после смерти Сталина, назначен командующим 7-й механизированной армией, с мая 1954 года начальник бронетанковой академии имени Сталина. В 1956 году уволен из рядов Вооружённых Сил по состоянию здоровья.
Похоронен на Новодевичьем кладбище.